Софи-математик

Итак, Софи Жермен всецело посвятила себя математике. Она так и не вышла замуж и направила всю энергию на занятия любимым делом. В частности, девушка занялась теорией чисел и теоремой Ферма, которая привлекла ее внимание простой формулировкой и загадочным доказательством — хотя сам Ферма, по-видимому, его нашел, отыскать его вновь не удавалось никому. Софи начала свой путь в математике, можно сказать, встав под знамена Лежандра и еще одного известного ученого. Еще в молодости, в 1804 году, Софи написала ни много ни мало лучшему математику мира, Гауссу, объяснив ему свои идеи и рассказав об открытиях, связанных с теоремой Ферма. Гаусс после публикации «Арифметических исследований» считался ведущим специалистом по теории чисел, поэтому Софи обращалась к нему в письме с особым почтением. Она подписала письмо псевдонимом Леблан — в противном случае адресат мог не принять ее всерьез. К удивлению Софи, Гаусс довольно дружелюбно ответил ей, хоть и не привел ответов на все ее вопросы. Вероятно, этих вопросов было слишком много, и прославленный ученый не нашел достаточно времени для этого. Однако то, что показалось Гауссу интересным, он прочел.

Софи Жермен переписывалась с Гауссом под псевдонимом Леблан. В жизни они никогда не встречались.

Обман раскрылся спустя несколько лет, когда Наполеон отправил свои армии в Германию. Софи, опасаясь, что с Гауссом что-то случится, обратилась к одному из своих друзей, генералу Пернети, который волей случая командовал войсками, расположившимися вблизи поместья Гаусса. Пернети галантно исполнил поручение и обеспечил безопасность ученого и его имущества, однако во время одного из визитов допустил оплошность, раскрыв Гауссу истинное лицо господина Леблана. Изумленный Гаусс написал Софи: он никогда не подумал бы, что автором столь глубокомысленных математических утверждений может быть женщина.

Софи Жермен всегда ассоциируется с доказательством знаменитой теоремы Ферма. Математики сразу же поняли, что Ферма в своем «чудесном доказательстве» допустил ошибку (скорее всего, он ошибся на одном весьма непростом этапе доказательства, когда используется определенный круговой многочлен — но не будем вдаваться в детали), но исправить эту ошибку и найти доказательство никак не удавалось. Привлекательность теоремы Ферма неоспорима: ее может понять любой; с ней, по словам самого Ферма, связана отдельная загадка; она записывается с помощью всего нескольких математических символов; за ее доказательство предлагались внушительные денежные премии и так далее. Профессиональные математики почти всегда относились к теореме Ферма с меньшим энтузиазмом, чем простые смертные. Нельзя отрицать, что эта теорема — самая известная в математике, но такие звезды, как Гаусс или, позднее, Гильберт, не уделяли ей особого внимания.

Можно сказать, что именитые ученые вели себя, словно лисица из басни «Лиса и виноград», хотя в разговоре о подобных гигантах мысли следует воздерживаться от подобных обобщений. Гаусс указывал, что доказательство теоремы Ферма не вызвало бы особого прогресса в науке, а его предполагаемые следствия были, скорее всего, не слишком важными. Кроме того, — ив этом Гаусс был совершенно прав — он сам мог сформулировать множество похожих теорем.

Как бы то ни было, доказать теорему Ферма было совсем не просто. Софи Жермен, к примеру, доказала, что при п = 5 если и существует контрпример, то он выражается колоссальной величиной — по ее подсчетам, превосходящей 691053006763356095514121490614455078525. В поисках доказательства требовалось двигаться медленно и рассматривать сначала отдельные показатели степени, затем — семейства показателей.

Сделаем небольшое отступление и расскажем о принципиально новом подходе к доказательству теоремы Ферма, который применила Софи Жермен. Ранее (и позднее) предпринимались попытки доказать теорему одним и тем же способом: показать, что не существует х, у z таких, что хⁿ  + уⁿ = zⁿ для какого-то конкретного n. Так, Ферма доказал свою теорему для n = 4, Эйлер — для n = 3, Лежандр — для n = 5, Ламе — для n = 7 и так далее. Софи выбрала иную стратегию и попыталась определить, при каких условиях определенные значения n можно будет исключить из рассмотрения. Для этого она описала особый класс простых чисел р (сегодня они называются простыми числами Жермен). Простое число р называется простым числом Жермен, если 2р + 1 также является простым. Приведем в качестве примера простые числа Жермен, меньшие 200: 2, 3, 5, 11, 23, 29, 41, 53, 83, 89, 113, 131, 173, 179 и 191. Еще один любопытный факт: наибольшее известное (на 2011 год) простое число Жермен равно 183027·2²⁶⁵⁴⁴⁰ — 1 и содержит 79911 цифр.

Частичное доказательство теоремы Ферма, полученное Софи Жермен, понять непросто даже сейчас, по прошествии более 200 лет, поэтому мы предлагаем заинтересованным читателям ознакомиться со статьей по ссылке http://sofia.nmsu.edu/~davidp/germain06-ed.pdf. В этой статье на более чем 70 страницах содержится увлекательный, наглядный и подробный рассказ, слишком объемный для этой книги. Между прочим, результаты, полученные Софи Жермен, были приняты широкой публикой лишь в 1830 году, с публикацией «Теории чисел» Лежандра.

После наполеоновской кампании Гаусс был назначен директором Геттингенской обсерватории и перестал уделять особое внимание теории чисел. Он занялся другими темами и прекратил переписку с Софи и другими корреспондентами. Софи лишилась поддержки ученого в поисках доказательства теоремы Ферма и, к большому ее сожалению, была вынуждена заняться другими задачами. Метод Софи Жермен позднее использовали Лагранж и другие специалисты. Как бы то ни было, ее вклад в доказательство теоремы оказался наиболее важным из всех сделанных в период с 1738 по 1840 год, когда были опубликованы труды Эрнста Куммера (1810–1893).

Наибольшую славу Софи принесла тема колебаний тонких пластинок, находившаяся на стыке физики и математики. После того как она представила в Академии наук два доклада, ее труд «О теории упругих поверхностей» наконец был удостоен премии (а также золотой медали весом в один килограмм) за полноту и глубину содержания. Однако Софи не явилась на церемонию вручения премии в знак несогласия с позицией некоторых академиков, в числе которых был Симеон Пуассон.

Заслуги Софи Жермен были оценены по достоинству, только когда она достигла зрелого возраста: Институт Франции удостоил ее особой медали за научные труды, и она стала первой женщиной, посетившей заседание Академии наук, не будучи при этом женой академика. Софи пришла на заседание спустя семь лет после награждения. Ее вел под руку великий Жозеф Фурье (1768–1830), секретарь Академии.

Последние работы Софи были посвящены дифференциальной геометрии, в частности кривизне поверхностей. В статье «О кривизне поверхностей» она впервые применила понятие средней кривизны, позднее ставшее классическим. Если c₁ и с₂ — наибольшая и наименьшая кривизна, то средняя кривизна, или кривизна Жермен, определяется по формуле:

* * *

ЧЕТЫРЕХСОТЛЕТНЯЯ ТЕОРЕМА

Известно, что существует бесконечное число пифагоровых троек, то есть троек целых чисел х, у, z, удовлетворяющих соотношению

x² + y² = z².

Не нужно далеко ходить за примером:

3² + 4²= 5².

Это соотношение, по мнению некоторых специалистов, знали и применяли еще древние египтяне. Ферма в 1630 году прочел книгу Диофанта и отметил на полях, что подобные выражения для всех остальных показателей степени, то есть

x³ + y³  = z³

x⁴ + y⁴ = z⁴

x⁵ + y⁵ = z⁵,

и так далее не имеют целых решений. Куб нельзя представить в виде суммы двух кубов, похожим образом нельзя представить ни четвертую, ни пятую, ни какую-либо другую степень. Ферма нашел этому поистине чудесное доказательство, но, к сожалению, поля книги оказались слишком узки для него (Ферма имел привычку делать пометки на полях прочитанных книг). Его знаменитая теорема на языке алгебры звучит так:

«Если х, у, z

и не равны нулю, то уравнение хⁿ + yⁿ = zⁿ не имеет решений при n > 2».

На протяжении почти 400 лет никто не мог ответить на вопрос, верна ли гипотеза Ферма? Является ли она теоремой — иными словами, существует ли ее доказательство? Более того, если это в самом деле теорема, то где ошибся Ферма в своем предполагаемом «чудесном доказательстве», так как он, несомненно, ошибся? Крайне маловероятно, что гипотезу, над которой столько лет бились лучшие умы человечества, доказал сам Ферма.

Многовековое ожидание завершилось в 1995 году усилиями Эндрю Уайлса, которому удалось найти доказательство лишь со второй попытки, спустя несколько лет работы, при этом он использовал сложнейшие и новейшие методы теории чисел. Вопреки ожиданиям, найденная им связь между модулярными формами и эллиптическими кривыми, которую он применил в доказательстве, отличалась новизной. Таким образом, теорема Ферма наконец была доказана, и ее доказательство имело важные последствия для науки.