где Е означает электрон, а Р — позитрон. Здесь все описывается в терминах направлений спина «вверх/вниз». Мы видим, что полное состояние является линейной суперпозицией электрона со спином вверх и позитрона со спином вниз, а также электрона со спином вниз и позитрона со спином вверх. Таким образом, если мы измеряем спин электрона в направлении «вверх/вниз» и обнаруживаем, что спин направлен вверх, то мы должны скачком перейти к состоянию |E↑) |P↓), поэтому спиновое состояние позитрона должно быть направлено вниз. С другой стороны, если мы обнаруживаем, что спин электрона направлен вниз, то состояние скачком переходит в |E↓) |P↑), поэтому спин позитрона направлен вверх.

Предположим, что мы выбрали какую-то другую пару противоположных направлений, например, вправо и влево, где

|E→) = |E↑) + |E↓), |P→) = |P↑) + |P↓)

и

|E←) = |E↑) — |E↓), |P←) = |P↑) — |P↓).

Тогда мы находим (если угодно, можете проверить выкладки):

|E→) |P←) — |E←) |P→) = (|E↑) + |E↓) (|P↑) — |P↓) — (|E↑) — |E↓)) (|P↑) + |P↓)) = |E↑)|P↑) + |E↓)|P↑) — |E↑)|P↓) — |E↓)|P↓) — |E↑)|P↑) + |E↓)|P↑) — |E↑)|P↓) + |E↓)|P↓) = -2(|E↑)|P↓) — |E↓)|P↑) = -2|Q)

т. е. мы получили (с точностью до несущественного множителя -2) то же самое состояние, из которого мы «стартовали». Таким образом, наше исходное состояние можно одинаково хорошо считать линейной суперпозицией электрона со спином вправо, позитрона со спином влево, и электрона со спином влево, позитрона со спином вправо! Выписанное выше выражение полезно, если мы решили измерять спин электрона в направлении вправо-влево вместо направления вверх-вниз. Если мы обнаружим, что спин электрона действительно направлен вправо, то состояние системы скачком переходит в |E→) |P←), поэтому спин позитрона направлен влево. С другой стороны, если мы обнаружим, что спин электрона направлен влево, то состояние системы скачком переходит в |E←) |P→), поэтому спин позитрона направлен вправо. Если бы мы стали измерять спин электрона в любом другом направлении, то получили бы соответствующую ситуацию: спиновое состояние позитрона мгновенно перешло бы скачком либо в измеряемое направление, либо в противоположное направление, в зависимости от измерения спина электрона.

Почему мы не можем моделировать спины наших частиц — электрона и позитрона аналогично тому, как мы поступили в приведенном выше примере с черным и белым шарами, извлекаемыми из ящика? Будем рассуждать на самом общем уровне. Вместо черного и белого шаров мы могли бы взять два каких-нибудь технических устройства Е и Р, первоначально образовывавших единое целое, а затем начавших двигаться в противоположные стороны. Предположим, что каждое из устройств Е и Р способно давать ответ ДА или НЕТ на измерение спина в любом заданном направлении. Этот ответ может полностью определяться технической начинкой устройства при любом выборе направления — или, может быть, устройство дает только вероятностные ответы (вероятность определяется его технической начинкой) — но при этом мы предполагаем, что после разделения каждое из устройств Е и Р ведет себя совершенно независимо от другого.

Поставим с каждой стороны измерители спина, один из которых измеряет спин Е, а другой — спин Р. Предположим, что каждый измеритель обладает тремя настройками для измерения направления спина при каждом измерении, например, настройками А, В, С для измерителя спина Е и настройками А', В', С' для измерителя спина Р. Направления А', В', С' должны быть параллельны, соответственно, направлениям А, В, и С. Предполагается также, что все три направления А, В, и С лежат в одной плоскости и образуют между собой попарно равные углы, т. е. углы в 120° (рис. 6.31).

Предположим теперь, что эксперимент повторяется многократно и дает различные результаты для каждой из настроек. Иногда E-измеритель фиксирует ответ ДА (т. е. спин направлен вдоль измеряемого направления А, В, и С), иногда фиксирует ответ НЕТ (т. е. спин имеет направление, противоположное тому, в котором производится измерение). Аналогично, Р-измеритель фиксирует иногда ответ ДА, иногда — НЕТ. Обратим внимание на два свойства, которыми должны обладать настоящие квантовые вероятности:

(1) Если настройки устройств Е и Р одинаковы (т. е. А совпадает с A' и т. д.), то результаты измерений, производимых с помощью устройств Е и Р, всегда не согласуются между собой (т. е. E-измеритель фиксирует ответ ДА всякий раз, когда Р-измеритель дает ответ НЕТ, и ответ НЕТ всякий раз, когда Р-измеритель дает ответ ДА).

(2) Если лимбы настроек могут вращаться и установлены случайно, т. е. полностью независимо друг от друга, то два измерителя равновероятно дают как согласующиеся, так и не согласующиеся результаты измерений.

Нетрудно видеть, что свойства (1) и (2) непосредственно следуют из приведенных выше правил квантовых вероятностей. Мы можем предположить, что E-измеритель срабатывает первым. Тогда Р-измеритель обнаруживает частицу, спиновое состояние которой имеет направление, противоположное измеренному E-измерителем, поэтому свойство (1) следует немедленно. Чтобы получить свойство (2), заметим, что для измеряемых направлений, образующих между собой углы в 120°, если E-измеритель дает ответ ДА, то Р-направление расположено под углом 60° к тому спиновому состоянию, на которое действует Р-измеритель, а если E-измеритель дает ответ НЕТ, то Р-направление образует угол 120° с этим спиновым состоянием. С вероятностью 3/4 = (1/2)(1 + cos60°) измерения согласуются, и с вероятностью 1/4 = (1/2)(1 + cos 120°) они не согласуются. Таким образом, усредненная вероятность для трех настроек Р-измерителя при условии, что E-измеритель дает ответ ДА, составляет (1/3)(0 + 3/4 + 3/4) = 1/2 для ответа ДА, даваемого Р-измерителем, и (1/3)(1 + 1/4 + 1/4) = 1/2 для ответа НЕТ, даваемого Р-измерителем, т. е. результаты измерений, производимых Е- и Р-измерителями, равновероятно согласуются и не согласуются. Аналогичная ситуация возникает и в том случае, когда E-измеритель дает ответ НЕТ. Это и есть свойство (2) (см. Глава 6. «Спин и сфера Римана состояний»).