Это значительно укрепило точку зрения, известную как тезис Черча — Тьюринга, которая утверждает, что машина Тьюринга (или ее эквивалент) на самом деле определяет то, что в математике понимают под алгоритмической (или выполнимой, или рекурсивной, или механической) процедурой. Сегодня, когда быстродействующие электронные компьютеры прочно вошли в нашу жизнь, немного найдется тех, кто считает необходимым ставить под сомнение эту теорию в ее изначальной формулировке. Вместо этого сейчас исследователи обратили внимание на вопрос, какие логические и математические операции могут выполнять реальные физические системы (возможно, включающие и человеческий мозг), подчиняющиеся точным физическим законам: точно такие же, что и машины Тьюринга, или же их возможности больше или меньше? Что касается меня, то я с удовольствием принимаю исходную математическую интерпретацию тезиса Черча — Тьюринга. С другой стороны, вопрос о его отношении к поведению реальных физических систем заслуживает отдельного рассмотрения и будет занимать в дальнейшем центральное место в наших рассуждениях.

В предыдущих параграфах мы рассматривали действия над натуральными числами и отметили тот замечательный факт, что машина Тьюринга может оперировать с натуральными числами произвольной величины, несмотря на то, что каждая машина имеет фиксированное и конечное число внутренних состояний. Однако часто возникает необходимость в операциях с более сложными числами, такими как отрицательные числа, обыкновенные дроби и бесконечные десятичные дроби. Первые две категории (т. е. числа вида -597/26) легко поддаются обработке машинами Тьюринга, причем и числители, и знаменатели могут быть сколь угодно большими. Все, что для этого нужно — какой-нибудь подходящий код для знаков «-» и «/», который можно легко выбрать при использовании расширенной двоичной записи (например, «3» = 1110 для знака «-», а «4» = 11110 — для знака «/»). Таким образом, отрицательные числа и обыкновенные дроби рассматриваются как конечные наборы натуральных чисел, и с точки зрения общих вопросов вычислимости ничего нового не дают.

То же можно сказать и о конечных десятичных выражениях с произвольным числом знаков после запятой, поскольку они представляют собой лишь частный случай обыкновенных дробей. Так, например, конечная десятичная аппроксимация иррационального числа π, заданная числом 3,14159265, есть просто дробь 314 159 265/100 000 000. Однако бесконечные десятичные выражения, такие как полная запись числа π

π = 3,14159265358979…,

представляют определенные трудности. На самом деле, ни входные, ни выходные данные машины Тьюринга не могут быть бесконечными десятичными выражениями. Можно было бы думать, что нашлась бы машина Тьюринга, способная выдавать одну за другой все последовательные цифры — 3, 1, 4, 1, 5, 9… в десятичной записи числа π и переносить их на выходную ленту, а мы просто позволим этой машине работать бесконечно долго. Но это запрещено для машин Тьюринга. Мы должны дождаться остановки машины (сопровождаемой звонком колокольчика!), прежде чем сможем ознакомиться с результатом. До того момента, пока машина не выполнит команды STOP, выходные данные могут изменяться и поэтому не являются достоверными. С другой стороны, после полной остановки машины результат должен быть с необходимостью конечным.

Существует, однако, «законная» процедура для того, чтобы заставить машину Тьюринга последовательно воспроизводить цифры примерно так, как это предлагалось выше. Если мы хотим получить бесконечную десятичную запись, скажем, числа π, мы могли бы заставить машину Тьюринга сначала рассчитать его целую часть, 3, используя на входе 0, затем — первую цифру дробной части, 1, используя на входе 1, затем — вторую цифру дробной части, 4, используя на входе 2, потом — третью цифру, 1, используя 3 и т. д. Вообще говоря, машина Тьюринга для получения всех цифр десятичной записи числа π в этом смысле действительно существует, хотя реализовать ее в явном виде было бы затруднительно. Подобное же замечание относится и ко многим другим иррациональным числам, таким, например, как √2 = 1,414213562… Однако оказывается — и мы увидим это в следующей главе, — что некоторые иррациональные числа принципиально не могут быть получены с помощью машины Тьюринга. Числа, которые можно получить таким образом, называются вычислимыми (Тьюринг [1937]), а остальные (в действительности абсолютное большинство!) — невычислимыми. Я еще вернусь к этой теме и затрону ряд смежных вопросов в последующих главах. К нам это имеет отношение в связи с вопросом о том, может ли реальный физический объект (например, человеческий мозг) быть адекватно описан в терминах вычислимых математических структур в соответствии с нашими физическими теориями.

Проблема вычислимости важна для математики в целом. Не следует думать, что она относится только к числам как таковым. Ведь машины Тьюринга могут непосредственно оперировать математическими формулами, например, алгебраическими или тригонометрическими выражениями, или выполнять формальные действия математического анализа. Все, что для этого нужно, это некий способ точного кодирования всех используемых математических символов в виде последовательностей нулей и единиц, которые позволят применить соответствующую машину Тьюринга. Именно это Тьюринг имел в виду, когда он взялся за проблему алгоритмической разрешимости, в которой требуется найти алгоритмическую процедуру для ответа на самые общие математические вопросы. Очень скоро мы вновь обратимся к этой теме.

Я еще не затрагивал понятия универсальной машины Тьюринга. Лежащий в ее основе принцип понять нетрудно, хотя детали могут быть сложны. Основная идея состоит в том, чтобы закодировать команды для произвольной машины Тьюринга Т в виде последовательности нулей и единиц, которую можно записать на ленте. Эта запись используется как начальная часть входных данных для некоторой особой машины Тьюринга U, называемой универсальной, которая затем обрабатывает остальную часть ленты в точности так, как это сделала бы машина Т. Универсальная машина Тьюринга — это универсальный имитатор. Начальная часть ленты дает универсальной машине U всю информацию, необходимую для точной имитации любой машины Т!

Чтобы показать, как это может быть реализовано, нам потребуется какая-нибудь система нумерации машин Тьюринга. Рассмотрим список инструкций, определяющих произвольную машину Тьюринга, например, одну из описанных выше. Мы должны в соответствии с некоторыми четкими правилами представить эти инструкции в виде последовательностей нулей и единиц. Это можно сделать, например, с помощью процедуры «сокращения», которую мы использовали ранее. Тогда, если мы закодируем символы R, L, STOP, «стрелка» (→) и «запятая», скажем, числами 2, 3, 4, 5 и 6 соответственно, то мы сможем записать их в виде «сокращений» 110, 1110, 11110, 111110 и 1111110. Цифры 0 и 1, кодируемые, соответственно, как 0 и 10, могут быть использованы для записи строк этих символов, входящих в таблицу действий машины Тьюринга. Нам не нужны различные обозначения для «жирных» цифр 0 и 1 и для остальных цифр в таблице, поскольку расположение «жирных» цифр в конце двоичного кода является достаточным отличительным признаком. При этом 1101, например, будет читаться как двоичное число 1101, представляемое на ленте последовательностью 1010010. в частности, 00 будет читаться как 00, что без всякой двусмысленности можно закодировать как 0 или вовсе опустить. Можно существенно сэкономить, если не кодировать «стрелки» и непосредственно предшествующие им символы, а воспользоваться цифровым упорядочением команд, позволяющим определить, какими должны быть эти символы. Правда, для этого надо убедиться в отсутствии «дырок» в получившемся порядке и добавить, где требуется, «немые» команды. (Например, машина Тьюринга XN +1 не имеет команды, соответствующей коду 1100, поскольку такая комбинация в ходе ее работы никогда не встречается. Следовательно, мы должны ввести в список команд немую команду, скажем 1100 → 00R, которая не вызовет каких бы то ни было изменений в работе машины. Сходным образом мы должны добавить немую команду 101 → 00R в список команд машины XN х 2.) Без таких «немых» команд кодирование последующих команд было бы нарушено. Как можно видеть, на самом деле мы не нуждаемся и в запятой в конце каждой команды, поскольку символов L и R вполне достаточно для отделения команд друг от друга. Поэтому мы просто будем использовать такую систему кодирования: