Я уже заметил, что хотя геометрия, или искусство, с помощью которого мы устанавливаем соотношения между фигурами, сильно превосходит как по всеобщности, так и по точности смутные суждения чувств и воображения, однако она никогда не достигает совершенной верности и точности³⁴. Ее первые принципы все же получаются на основании общего вида объектов, а этот общий вид не может дать нам никакой уверенности, когда мы исследуем ту удивительную малость [отношений и различий], которая встречается в природе. Наши идеи, по-видимому, дают нам полную уверенность в том, что две пересекающиеся прямые линии не могут иметь общего отрезка; но если мы рассмотрим эти идеи, то обнаружим, что в них всегда предполагается доступный восприятию наклон двух линий друг к другу; если же угол, образуемый последними, крайне мал, то у нас уже не окажется такого точного образца прямой линии, при помощи которого мы могли бы убедиться в истинности этого суждения. Так же обстоит дело с большинством основных положений математики.

Итак, в качестве единственных наук, в которых цепь рассуждений может быть доведена до некоторой степени сложности, сохраняя в то же время совершенную точность и достоверность, остаются алгебра и арифметика. Мы располагаем точным мерилом, с помощью которого можем судить о равенстве и соотношении чисел, и в зависимости от того, соответствуют они или нет этому мерилу, мы определяем их отношения без всякой опасности ошибиться. Когда два числа составлены таким образом, что каждая единица в одном из них всегда отвечает каждой единице в другом, мы признаем их равными; и как раз из-за отсутствия такого мерила равенства для протяжения геометрия едва ли может считаться совершенной и непогрешимой наукой.

Но здесь, пожалуй, не мешает предупредить одну трудность, которая может быть вызвана моим утверждением, что хотя геометрии и недостает совершенной точности и достоверности, свойственных арифметике и алгебре, однако она превосходит несовершенные суждения наших чувств и воображения. Причина, в силу которой я вообще приписываю геометрии какой-либо недостаток, состоит в том, что ее первичные и основные принципы выводятся исключительно из общего вида объектов; и можно, пожалуй, вообразить, что этот недостаток всегда должен быть свойствен ей и мешать достижению ею большей точности в сравнении объектов или идей, чем та, которой может достигнуть сам по себе наш глаз или наше воображение. Я допускаю, что этот недостаток настолько свойствен геометрии, что он мешает ей надеяться па достижение когда-либо полной достоверности; но ввиду того, что ее основные принципы обусловливаются самыми простыми и наименее обманчивыми явлениями, они сообщают своим следствиям такую степень точности, какой сами по себе эти следствия не могли бы иметь. Мы не в состоянии определить на глаз, что углы тысячеугольника равны 1996 прямым углам, или же составить какое-нибудь приблизительное предположение об этом отношении; но когда мы определяем [на глаз], что [пересекающиеся] прямые линии не могут иметь общего отрезка и что мы не можем провести больше одной прямой между двумя данными точками, то наши ошибки никогда не могут быть сколько-нибудь значительными. Особенность, а равно и польза геометрии состоят как раз в том, что последняя приводит нас к таким явлениям объектов, которые в силу своей простоты не могут ввести нас в значительные заблуждения.

Теперь я воспользуюсь случаем, чтобы изложить второе замечание относительно наших демонстративных заключений, вызываемое тем же предметом математики. Математики имеют обыкновение утверждать, что идеи, являющиеся объектом их изучения, так утонченны и духовны по природе, что они не могут быть представлены воображением, а должны быть постигнуты с помощью чистого интеллектуального созерцания, доступного лишь высшим способностям души. Та же мысль проводится и в большинстве разделов философии, причем ею пользуются главным образом для того, чтобы объяснить наши абстрактные идеи и показать, как мы можем образовать идею, например, такого треугольника, который не будет ни равнобедренным, ни разносторонним и не окажется определенным ни по длине, ни по соотношению своих сторон. Легко заметить, почему философам так нравится эта мысль о каких-то утонченных духовных восприятиях: ведь с помощью последних они могут замаскировать многие из своих нелепостей и отказаться от подчинения выводам из ясных идей, ссылаясь на идеи темные и недостоверные. Но чтобы раскрыть эту уловку, нам стоит только поразмыслить над принципом, на который мы уже так часто ссылались и который гласит, что все наши идеи скопированы с наших впечатлений. Ибо, исходя из него, мы можем непосредственно заключить, что поскольку все наши впечатления ясны и точны, то и идеи, с них скопированные, должны быть той же самой природы и разве только по нашей вине могут заключать в себе что-либо темное и запутанное. Идея по самой своей природе более слаба и смутна, чем впечатление, но, будучи во всех других отношениях тождественна последнему, она не может заключать в себе особенно большой тайны. Если слабость идеи делает ее смутной, то наше дело по возможности исправлять этот недостаток, сохраняя идею неизменной и точной; и пока мы этого не сделали, нам незачем претендовать на рассуждение и философию.

Вот все, что я считаю необходимым заметить по поводу тех четырех отношений, которые составляют основу науки; что же касается остальных трех отношений, которые не зависят от идеи и могут быть налицо или же отсутствовать, хотя бы она оставалась без изменения, то следует объяснить их более подробно. Эти три отношения таковы: тождество, положение (situation) во времени и пространстве и причинность.

Все виды рассуждения³⁵ состоят не в чем ином, как в сопоставлении ³⁶ и в открытии тех постоянных или непостоянных отношений, в которых два или более объектов находятся друг к другу. Мы можем производить это сравнение или когда оба объекта воспринимаются чувствами, или когда ни один из них не воспринимается, или когда налицо только один из них. Когда оба объекта, а равно и их отношение, даны чувствам, мы называем это скорее восприятием, чем рассуждением; ведь в данном случае нет ни деятельности мышления, ни вообще какого-нибудь акта в собственном смысле слова, а есть лишь пассивное восприятие впечатлений посредством органов ощущения. Согласно такому взгляду на дело, мы не должны считать рассуждением ни одно из своих наблюдений над тождеством или над отношениями времени и места, ибо ни при одном из этих наблюдений ум не может переступить предел того, что непосредственно дано чувствам, или открыть реальное существование либо отношения между объектами. Только причинность порождает такую связь, благодаря которой мы из существования или действия какого-нибудь одного объекта черпаем уверенность, что за ним следовало или же ему предшествовало другое существование или действие; оба же остальных отношения могут пригодиться в рассуждении лишь постольку, поскольку они обусловливают отношение причинности или же им обусловливаются. В объектах нет ничего убеждающего нас в том, что они всегда отдалены друг от друга или всегда смежны; открывая же с помощью опыта и наблюдения, что такое их отношение неизменно, мы всегда заключаем, что существует какая-нибудь скрытая причина, разделяющая или соединяющая их. Такое же заключение применимо и к тождеству. Мы без труда допускаем, что объект может оставаться тождественным в своей единичности, хотя бы он несколько раз исчезал и [снова] был дан чувствам, и, несмотря на перерыв в восприятии, приписываем ему тождество каждый раз, когда заключаем, что он давал бы нам неизменное и непрерывное восприятие, если бы мы все время не спускали с него глаз или не отнимали от него рук. Но это заключение, выходящее за пределы впечатлений наших чувств, может быть основано только на связи причины и действия] иначе мы не можем быть уверены в том, что объект не сменился другим, как бы похож ни был новый объект на тот, который раньше был дан нашим чувствам. Каждый раз, как мы открываем такое полное сходство, мы рассматриваем, свойственно ли оно вообще такого рода объектам, возможно ли и вероятно ли, чтобы какая-нибудь причина своим действием произвела изменение и сходство [объектов]; в зависимости же от решения, к которому мы приходим относительно таких причин и действий, находится и наше суждение относительно тождества объекта.