Обычно мы представляем себе мировое пространство как нечто, напоминающее геометрию Евклида. И в самом деле, в рамках частной теории относительности пространственная часть четырехмерного пространства-времени плоская, то есть евклидова. Сам Евклид работал в Александрии примерно в 300 году до н. э.; практически ничего больше о нем не известно. Он создал геометрическую систему, которая до сих пор является непременной частью нашего математического образования. Геометрия Евклида основывается на пяти «безусловно истинных» аксиомах, на основе которых разработана целая система из 465 теорем (основной курс геометрии). Из этих пяти аксиом наиболее часто обсуждается последняя, утверждающая, что

• Через данную точку на плоскости можно провести одну и только одну прямую, параллельную данной прямой на той же плоскости.

Вспомним, что линии параллельны, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются друг с другом. Евклид и многие его последователи испытывали сомнения насчет этого постулата параллельности. Хотя интуитивно он выглядит верным, экспериментального способа для подтверждения этого не было. Предположим, что есть прямая линия, проходящая через точку Р, параллельная другой прямой S. Если мы чуть-чуть повернем нашу линию, то откуда известно, что после такого поворота она действительно пересечет линию S? На практике мы всегда имеем дело с ограниченным отрезком прямой линии и не можем увидеть ее всю. Быть может, эту последнюю аксиому можно вывести из первых четырех? В течение двух тысячелетий математики пытались показать, что пятый постулат вытекает из остальных. Но все эти попытки провалились.

Вплоть до XIX века не было понятно, что пятую аксиому можно заменить и создать другие системы, в которых геометрические связи будут отличаться от привычных. Среди многих возможностей было два наиболее интересных варианта: гиперболическую геометрию независимо друг от друга разработали Карл Фридрих Гаусс, Николай Иванович Лобачевский и Янош Бойяи (рис 15.1), а автором сферической геометрии был Георг Риман. Этими двумя геометриями, наряду с евклидовой моской геометрией, исчерпываются все возможные описания Вселенной, которая однородна и изотропна, то есть — в которой все точки и направления равноправны. Поэтому все они очень важны для современной космологии.

Рис. 15.1. Создатели гиперболической геометрии: Карл Фридрих Гаусс (1777–1855) (в центре), Николай Лобачевский (1792–1856) (справа) и Янош Бойяи (1802–1860) (слева).

Русский ученый, профессор и ректор Казанского университета Николай Иванович Лобачевский создал логически стройную геометрическую систему, в которой постулат параллельности Евклида был заменен другой аксиомой.

• Через данную точку на плоскости можно провести бесконечное число линий, которые не пересекаются с данной линией на плоскости.

Он называл эту систему «воображаемой геометрией» (или «пангеометрией») и полагал, что нет таких областей математики, кроме самых абстрактных, для которых в один прекрасный день не нашлось бы применения в реальном мире. Гаусс, Бойяи и Лобачевский ничего не знали о работах друг друга. Но Лобачевский первым опубликовал статью о новой геометрии. Она появилась в 1829 году в «Казанском вестнике» на русском языке и осталась незамеченной. Пытаясь завоевать широкую известность, Лобачевский опубликовал свою статью в 1837 году на французском языке, затем в 1840 году на немецком, вновь в 1855 году на французском. Успешная работа Лобачевского привела к тому, что он стал ректором Казанского университета и даже был награжден Николаем I. Но в 1846 году он вышел на пенсию (некоторые считают, что его уволили из университета), и лишь после смерти имя Лобачевского стали связывать с разработкой неевклидовой геометрии. Последнюю благодарность от правительства Лобачевский получил за несколько месяцев до смерти за новый способ обработки шерсти.

В это же время, не зная о работе Лобачевского, венгр Бойяи «создал из ничего странный новый мир». Оба они — и Лобачевский, и Бойяи — пытались доказать пятый постулат, но со временем понимали, что решить эту задачу невозможно: Бойяи в 1823 году, а Лобачевский в 1826-м. Отец Яноша, Фаркаш, друживший с Гауссом, и сам — известный математик, работал над той же проблемой. Когда он прочитал труд сына, то заставил Яноша опубликовать его, включив в виде 26-страничного Дополнения в свою книгу, изданную в 1832 году.

Гаусс в письме к Фаркашу Бойяи одобрил труд сына, но заявил, что сам разработал ту же идею около 30 лет назад. Янош был сокрушен письмом Гаусса. Он потерял приоритет и впоследствии никогда ничего не писал на эту тему. Гаусс придумал термин «неевклидова геометрия», но ничего не публиковал по ней, поскольку он «очень не хотел заниматься чем-то таким, что навлекло бы на него критику» — так он говорил в письме от 1829 года. В частном письме от 1824 года Гаусс сообщал: «Предположение, что (в треугольнике) сумма трех углов меньше 180°, ведет к любопытной геометрии, полностью отличающейся от нашей, но совершенно последовательной, которую я разработал для собственного удовлетворения».

Математические методы, необходимые для вычислений в неевклидовой геометрии, разработал Риман. Эта область математики, которую со временем изучил даже Эйнштейн, называется сейчас тензорным исчислением. Тензоры — это сложные величины, напоминающие векторы, которые используют для описания электрических полей. Примером тензора служит тензор кривизны, который описывает, насколько искривлено пространство, то есть насколько оно отличается от евклидова пространства. В четырехмерном пространстве тензор кривизны имеет 20 компонентов. Сравните это с вектором электрического поля, имеющим всего 3 компонента.

Еще в детстве Георг Риман (1826–1866) отличался выдающимися математическими способностями. К тому же он прилежно изучал Библию и в 1846 году, следуя отцовской воле, поступил в Гёттингенский университет на отделение теологии. Однако, посетив несколько лекций по математике, он попросил отца разрешить ему заняться математикой. Отец был не против, и Риман начал учиться математике, в том числе и у Гаусса. Под руководством Гаусса он завершил диссертацию и был взят на работу в Гёттингенский университет для подготовки к профессорскому званию (то есть — в аспирантуру). По окончании подготовки он выступил с лекцией «О гипотезах, лежащих в основании геометрии», которая теперь среди математиков считается классической работой. В ней обсуждается определение тензора кривизны и рассматривается вопрос о связи геометрии с миром, в котором мы живем. Какова размерность реального пространства и какой геометрией описывается наше пространство? Риман полагал, что само пространство может иметь измеряемые характеристики (рис. 15.2).

Рис. 15.2. Георг Риман — математик, проложивший путь для общей теории относительности.

Эта лекция намного опередила свое время и не была оценена большинством ученых. Согласно общепринятому тогда мнению, которое разделял и Ньютон, пространство служит жестким фоном, относительно которого проводятся все изменения. В окружении Римана только Гаусс смог оценить глубину мысли юного математика. На собрании факультета он с большой похвалой отозвался о профессоре физики Вильгельме Вебере и хвалил за оригинальность работу Римана.

Вселенная конечна или бесконечна? Это не так-то просто «увидеть». Евклидова геометрия прекрасно описывает наши обычные измерения. Но в будничной геометрии трудно встретиться с бесконечностью. С другой стороны, испытываешь немалые трудности, пытаясь представить себе конечный мир со сферической геометрией, хотя его конечность легко описывается математически.