Он хотел подчеркнуть, что хотя в общей теории относительности кривизна пространства служит определяющей величиной, измерив ее, мы еще не узнаем глобальную форму и объем пространства. Отдельным вопросом является топология пространства. Напомним, что топология — это область математики, изучающая среди прочего особенности геометрических фигур и тел, которые не изменяются при растяжении или изгибе. В этом смысле, например, бублик и рамка от картины топологически эквивалентны. Так вот, топологию пространства невозможно вывести из общей теории относительности: нет простого, взаимно однозначного соответствия между кривизной пространства и его общей формой.

В процитированной выше книге «Мир как пространство и время», опубликованной в России в 1923 году, за два года до безвременной смерти, Фридман приводит педагогический пример. Двумерная геометрия поверхности цилиндра и геометрия плоскости одинаковы: обе поверхности — двумерные евклидовы пространства (рис. 23.8). Цилиндр можно склеить из плоского куска, и с нарисованным на плоскости треугольником ничего особенного не случится, если мы склеим друг с другом края этого куска. Сумма углов треугольника останется равной двум прямым углам, и теорема Пифагора, которая работает на плоскости, сохранит свою силу и на поверхности цилиндра.

Рис. 23.8. Цилиндр можно изготовить из плоского прямоугольника. Поверхность цилиндра и плоскость обладают одинаковой внутренней евклидовой геометрией, но глобальная, то есть топологическая, структура у них совершенно разная.

Но в топологическом смысле это разные вещи: на цилиндре существуют «прямые линии конечной длины», тогда как на плоскости таких линий нет. Цилиндр имеет конечный размер в направлениях, перпендикулярных его оси, поэтому в этих направлениях он конечен и замкнут. Он бесконечен в направлении, параллельном его оси. Используя плоскость и цилиндр, Фридман приводит читателя к выводу: «Таким образом, одна метрика мира не дает нам никакой возможности решить вопрос о конечности Вселенной. Для решения этого вопроса нужны дополнительные теоретические и экспериментальные исследования».

После замечания Фридмана, сделанного в начале прошлого века о «дополнительных исследованиях», можно сказать, что до сих пор нет общей теории, связывающей топологию пространства-времени с его вещественным содержимым (математики говорят, что плоская, евклидова, геометрия может существовать у 18 топологически различных вариантов пространства!). Тем не менее можно приблизиться к решению этой проблемы путем наблюдений. Например, многочисленные изображения-«духи» одного и того же объекта могут наблюдаться на небе в топологически замкнутом пространстве конечного размера, потому что свет от яркого объекта может дойти до наблюдателя разными путями. Скажем, если лучи обогнут мир в разных направлениях, то мы можем увидеть один и тот же объект в двух диаметрально противоположных точках на небе. Но до сих пор такое не наблюдалось.

Замкнутая топология пространства должна была бы оставить свои следы и в виде «духов» фонового излучения. Первые наблюдательные свидетельства такого рода о топологии пространства обсуждал в 2003 году в Париже Жан-Пьер Люмине с коллегами. Они изучали топологическую информацию, содержащуюся в вариациях фонового излучения на предельно больших углах. Максимальным углом для вариаций обладает диполь. Но при угле в 180° невозможно получить данные, так как эффект Доплера, связанный с нашим движением относительно Вселенной (см. главу 24), тоже вызывает дипольный эффект, причем в 100 раз превышающий топологический. Максимальным наблюдаемым угловым масштабом вариаций обладает квадруполь с углом 90°. Последние данные WMAP показывают, что квадрупольные изменения составляют лишь одну седьмую от изменений, ожидаемых в бесконечном плоском пространстве. Для восьмиугольника с угловым масштабом 60° они составляют 70 % от ожидаемого в бесконечном пространстве. Для меньших угловых масштабов ослабления не наблюдалось.

Малая величина вариаций мощности на углах больше 6о° может означать, что большие пространственные масштабы отсутствуют, и Люмине предполагает, что причина этого в том, что пространство само недостаточно велико. Это можно сравнить с колебаниями закрепленной на двух концах струны: максимальная длина волны колебаний равна удвоенной длине струны. Люмине исследовал конкретную модель конечной Вселенной, пространство которой носит необычное название — додекаэдр Пуанкаре; с ним хорошо знакомы топологи. Чтобы в общих чертах представить такое пространство, нужно в первую очередь отметить, что любую обычную сферу можно полностью покрыть 12 правильными сферическими пятиугольниками, плотно прилегающими друг к другу. Каждый из них — это пятиугольная часть сферы. Обычный евклидов пентагональный додекаэдр — это фигура с 12 одинаковыми плоскими гранями (рис. 6.4), а в нашем случае грани являются частями сферической поверхности.

Теперь обратимся к гиперсфере как к конечному, но не имеющему границ трехмерному миру Эйнштейна. Чтобы покрыть гиперсферу, требуется 120 правильных сферических додекаэдров. Их можно плотно прижать друг к другу, и каждый из них станет двенадцатигранной частью гиперсферы. Додекаэдральное пространство Пуанкаре состоит из таких сферических додекаэдров. Такое пространство нелегко представить. На техническом языке пространство Пуанкаре — это пространство с положительной кривизной и многосвязной топологией.

Наша упрощенная двумерная модель Вселенной, теперь была бы не раздувающимся воздушным шаром, а расширяющимся футбольным мячом, где «наш мир» — это один из 12 пятиугольников. При взгляде на это нам кажется, что можно пересечь границу и посетить соседний «мир». Но в пространстве Пуанкаре это невозможно! Противоположные грани додекаэдральных блоков так скреплены друг с другом, что, когда свет выходит из одной грани, он странным образом возвращается обратно через грань на противоположной стороне. Это похоже на лист бумаги, свернутый в цилиндр (см. рис. 23.8), когда противоположные края листа склеены друг с другом. Нам доступен лишь один блок этого додекаэдрального пространства (рис. 23.9).

Люмине и его коллеги с помощью сложных компьютерных программ проделали вычисления, показавшие, что такая модель довольно точно соответствует наблюдаемой картине космического микроволнового излучения, если в нашу эпоху космологическая кривизна имеет вполне определенный радиус. Такая конечная Вселенная должна была бы содержать конечное количество энергии и конечное число звезд и галактик. Но эта интересная идея все еще не доказана. Чтобы проверить, действительно ли мы живем в плоском, но топологически конечном пространстве, нужно исследовать фоновое излучение на углах больше 60°. Для этого нужны более точные наблюдения с помощью новых космических обсерваторий, таких как «Планк» Европейского космического агентства, запущенный в 2009 году. В всяком случае, работа Люмине показала, что современную космологию могут ожидать сюрпризы даже в тех областях пространства, где старая бесконечная модель Фридмана вроде бы делает свое дело вполне удовлетворительно.

Рис. 23.9. (а) Модель нашей расширяющейся Вселенной в виде футбольного мяча с 12 пятиугольными гранями, представляющими различные «миры». (б) Один додекаэдральный блок значительно более сложного пространства Пуанкаре: луч света, выходящий из одной грани, сразу же входит в противолежащую грань. Рисунок: Жан-Пьер Люмине.

На что был похож Большой взрыв? Этот вопрос заинтересовал Жоржа Леметра (1894–1966) еще в 1931 году. Хотя он был священником (и профессором астрономии в Лувенском католическом университете в Бельгии), рождение Вселенной он считал чудом природы; наука и религия существовали для него совершенно раздельно. В 1927 году в изящном теоретическом исследовании он предсказал красное смещение линий в спектрах далеких галактик и его зависимость от расстояния (закон Хаббла). Леметр говорил о I'atome primitive — первичном атоме, который был похож на большое радиоактивное ядро, начавшее распадаться. Он подозревал, что «невозможно путем размышлений постигнуть истинное происхождение, но к этому можно приближаться асимптотически». В это время большинство астрономов не считали нужным даже пытаться понять проблему происхождения Вселенной.