595

МОДЕЛИРОВАНИЕ ниями и порою функциями. Для модальных логик СВМ интерпретации обычно используют единственное бинарное отношение достижимости. Логика L называется шкальной, если любая интерпретация с той же системой миров, что у модели L, также является моделью L. Т. о., шкальные логики накладывают ограничения не на отдельные миры, а на их внешние взаимосвязи. Один из интереснейших результатов современной СВМ — перечисление всех суперинтуиционистских и модальных пропозициональных логик, обладающих интерполяционным свойством Крейга: для любой доказуемой импликации А =» В найдется формула С, содержащая лишь термины, общие для А и В, такая, что доказуемы А=> С и С=> В. В работах Л. Л. Максимовой показано, что логик, обладающих свойством Крейга, конечное число. Математическая структура вынуждения, использованная П. Дж. Коэном как промежуточный шаг для построения нестандартных классических моделей теоретико-множественных систем, позднее получила название моделей Крипке для ии- туыционистасой логики. С их помощью решена проблема Гильберта: доказана независимость аксиомы выбора и континуум-гипотезы. Далее, теми же методами установлена невозможность явного построения, в частности, неизмеримого множества действительных чисел и нестандартной модели анализа. Исторически это было одно из первых использований СВМ. Последний класс моделей — ИР. Колмогоровская интерпретация допускает значительную гибкость в классе используемых функционалов, поэтому в ИР используются и алгоритмы, и топологические пространства с непрерывными преобразованиями, и категории, и формальные выводы, и комбинации данных объектов. Наиболее значительные в методологических аспектах результаты, полученные при помощи ИР за последнее время, следующие. Доказана совместимость с интуиционистской математикой моделей брауэровских концепций творящего субъекта и беззаконных последовательностей (см. Интуиционизм) и построены модели вычислимости, основанные на данных концепциях. Т. о., обосновано, что содержательный вычислительный метод может быть представлен как композиция алгоритма, творческого процесса и физических измерений. Доказано, что для многих аксиоматических систем добавление аксиомы выбора к конструктивному анализу и к теории множеств с интуиционистской логикой не нарушает эффективности доказательств. Т. о., аксиома выбора на самом деле не приводит сама по себе к чистым теоремам существования; в данном смысле она концептуально противоречит исключенного третьего закону, который с необходимостью приводит к таким теоремам. Лет.: Кейслер Г., Чэн Ч. Ч. Теория молелей. М., 1977; Максимова Л. Л. Интерполяционные свойства суперинтуиционистских, модальных и позитивных логик.— В кн.: Модальные и интенсиональные логики и их применение к проблемам методологии науки. М., Наука, 1984. Н. Н. Непейвода

МОДЕЛИРОВАНИЕ— представление процесса или ситуации с помощью модели. Применяется для исследования и/илиуправления. Процедуры моделирования используются как в чисто теоретических (математика, логика), так и в прикладных сферах. Можно выделить два типа моделирования, основанные на двух различных определениях модели. В первом случае модель — это конструкция, изоморфная моделируемой системе. При таком моделировании каждому объекту системы ставится в соответствие определенный элемент моделирующей конструкции, а свойствам и отношениям объектов соответствуют свойства и отношения элементов. Классическими примерами моделей, основанных на изоморфизме, являются модели аксиоматических систем в математике. Они задают семантику формальных построений и создают возможность для содержательной интерпретации аксиом. Сами аксиомы, как и следствия из них, считаются предложениями некоторого формального языка. Кроме того, задана область интерпретаций, представляющая собой множество индивидных объектов. Изоморфизм задается функцией, сопоставляющей каждому имени языка некоторый объект из заданного множества, а каждому выражению языка некоторое отношение объектов этого же множества. Если любое высказывание, которое выведено из аксиом, истинно в области интерпретаций (т. е. (»ответствует реальным отношениям объектов), то эта область называется моделью системы аксиом. Моделирование в математике используется, напр., для доказательства непрагиворечивости формальных систем. Так была, в частности, доказана непротиворечивость неевклидовых геометрий. При рассмотрении систем Лобачевского и Римана, как формально построенных аксиоматик, можно найти для каждой из них такое множество объектов в евклидовом пространстве, для которого существует описанное выше соответствие между этим множеством и системой аксиом. Поэтому геометрии Лобачевского и Римана непротиворечивы, если, конечно, непротиворечива евклидова геометрия. Этот тип моделирования используется не только в чистой математике, но также при математическом описании природных, общественных, технологических и т. п. систем. Смысл такого описания состоит в том, что отношения между элементами системы выражаются с помощью уравнений, причем так, чтобы каждому термину содержательного описания системы соответствовала какая-либо величина (константа или переменная) или функция, фигурирующая в уравнении. Сами уравнения называются при этом моделью. Чаще всего математическое моделирование требует абстракции, т. е. отвлечения от некоторых свойств и отношений в моделируемой системе. Это позволяет достичь общности модели и утверждать, что она, игнорируя частности, описывает достаточно широкий круг процессов или систем. К тому же без таких упрощений моделирование оказывается бессмысленным (из-за чрезмерной сложности модели) или вообще невозможным. Другим важным гносеологическим условием моделирования является измеримость всех описываемых объектов и отношений. Чтобы построить модель, необходимо найти их числовое представление. Всякий моделируемый процесс должен быть полностью охарактеризован с помощью параметров, поддающихся измерению. Второй тип моделирования основан на понятии «черный ящик». Этм термином называют в кибернетике объект, внутренняя структура которого недоступна для наблюдения и о котором можно судить только по его внешнему поведению, в частности по тому, как он преобразует приходящие на вход сигналы. Если некоторая система слишком сложна, то нет смысла искать ее математическое описание. Проще попытаться построить вместо нее другую систему, которая при заданных условиях будет вести себя точно так же. Такое моделирование часто используется при исследовании отдельных систем живых организмов с помощью компьютерной симуляции. Описать работу живого организма уравнениями крайне тяжело. Но возможно построить компъю-

596

МОДЕРНИЗАЦИЯ СОЦИАЛЬНАЯ терную схему, которая при подаче на вход определенного стимула давала бы на выходе реакцию, тождественную или близкую к реакции моделируемой системы. Если спектр совпадающих входных и выходных процессов достаточно широк, то можно ожидать, что построенная схема точно воспроизводит исследуемый объект. Лет.: Эшби У. Р. Введение в кибернетику. М., 1959; Гастев Ю. А. Гомоморфизмы и модели. Логико-алгебраические аспекты моделирования. М., 1975; Кузин Л. Т. Основы кибернетики. В 2-х т. М., 1979; БулосДж., Джефри Р. Вычислимость и логика. М., 1994. Г. Б. Гутнер

МОДЕРАТ(Mooeparoc) из Гадеса (финикийское поселение в Испании) (2-я пол. I в. н. э.) — философ-пифагореец, автор сочинения «Пифагорейские учения» в 10/11 книгах, которое используется Порфирием в сочинениях «Жизнь Пифагора» (48—53) и «О материи» (ср.: SimpL In Phys., p. 230, 34 ff. Diels). Сводка мнений Mодерата о душе дается Ямвлихом (De Anima, ар. Stob. Anth. I 364). Приписываемые Модерату рассуждения о числе (Stob. Anth. I p. 21 \fachsm.) сходны с пассажами из ТеонаСмирнского (р. 18,3 ff. Hiller). На основании интерпретации сохранившихся фрагментов можно предположить (Доддс), что Модерат в ходе толкования платоновского « Парме н ид а» предвосхитил ряд основных инноваций Плотина (сверхбытийное Единое, а также — на примере числа — описание процесса разворачивания единства во множество и обратно) или же во всяком случае что существовала традиция, для которой был характерен отказ от среднепла- тонического отождествления единого с нусом и которая могла оказать влияние на Плотина (или Аммония). Лиг.: Dodds Е. R. The «ftumenides» of Plato and the Origin of the Neo- platonic «One».- «Classical Quarterly» 22,1928, p. 129-142; WhittakerJ. Epekeina nou kai ousias.— «Vjgiliae Christianae» 23,1969, p. 91—104; Он же. Neopythagoreanism and Negative Theology.— «Symbolae Osloensis» 44, 1969, p. 109—125; Он же. Neopythagoreanism and the Transcendent Absolute.- Ibidem. 48,1973, p. 77-86. А. В. Пахомова