Математика, построенная Демокритом на основе этого воззрения, была свободна от внутренних логических противоречий. Однако положения этой математики явно противоречили чувственной интуиции реальности, на которую опиралась современная Демокриту и последующая античная математика. Но Демокрит апеллирует не к чувственной интуиции, не к непосредственному наглядному созерцанию. Его теория имеет в виду объекты, доступные только миру мысли. Теория Демокрита призывала порвать с обычным представлением, согласно которому начавшемуся делению тела или величины принципиально нельзя положить предела.

Склонить к принятию этого взгляда было трудно: доверие к чувственной интуиции было слишком сильно. Поэтому в своем значительном большинстве последующие математики и философы различных школ, в особенности аристотелевской, отвергли теорию Демокрита. Они провозгласили ее разрушающей основы математики. Уже Евклид, вопреки Демокриту, доказывал в первой теореме Х книги своих «Начал», что в процессе последовательных делений любая величина может стать меньше любой заданной величины. Философскую основу для своего утверждения бесконечной делимости любой величины Евклид мог почерпнуть у Аристотеля.

Подавленная в последемокритовское время критикой со стороны математиков и Аристотеля, атомистическая теория математики возродилась впоследствии в материалистической школе Эпикура.

В связи с атомистикой Левкиппа и Демокрита находилось их учение о познании. Атомистическая теория поставила перед учением о познании некоторые новые трудные вопросы и дала ключ к решению этих вопросов.

Как мы видели (см. выше гл. II), одним из результатов учения о знании, развитого элейцами, был скептицизм в отношений чувственного знания и резкий разрыв между данными чувственных восприятии и результатами мышления. Поскольку достоверное знание об истинно сущем возможно, знание это, по учению элейцев, может быть только постижением ума. Напротив, чувственные восприятия дают лишь недостоверное, шаткое мнение.

В этом элейском принижении роли чувственного источника познания находил впоследствии опору скептицизм, развивавшийся в некоторых школах древнегреческой философии, например в школе софистов.

Напротив, атомисты в этом вопросе выступили против элейцев. Не менее четко, чем элейцы, они сохраняют различение знания чувственного и интеллектуального. Так же, как элейцы, атомисты утверждают, что чувствам недоступно непосредственное постижение истинно сущих элементов бытия, т. е. атомов. К убеждению в существовании атомов и к определению присущих им свойств приводит ум. Но при этом элейцы полагали, что познание, достигаемое умом, совершенно противоположно чувственным восприятиям. Напротив, атомисты видят в познании посредством ума не противоположность чувственным восприятиям, а их продолжение и углубление, уточнение. Достоверность интеллектуального познания имеет источник в том же чувственном восприятии.

Сохранился отрывок Галена с цитатами из сочинения Демокрита, в котором изображался в форме диалога спор ума с ощущениями. Независимо от диалогической формы из самой последовательности цитат видно, к какому решению спора приходит сам Демокрит. Сначала ум провозглашает чувственно воспринимаемые явления обманчивыми, но затем ощущения указывают, что основа доказательства ума в тех же ощущениях, и, таким образом, торжество ума, кичливо вознесшегося над чувствами, оказывается его поражением.

Аристотель и крупнейший ученый его школы Теофраст надежно засвидетельствовали основную тенденцию Демокрита. По их сообщениям, Демокрит не противопоставлял ум ощущениям и источник достоверного знания видел в ощущениях, в отличие от Анаксагора, у которого ум резко отделяется и отличается от чувственно воспринимаемых «семян» вещей. Демокрит, по Аристотелю, «смотрит на ум не как на силу, которою постигается истина, а отождествляет его с душой» [De anima,I,2,404a;12,c.l9 — 20].

Отождествление ума с ощущением, о чем говорит Аристотель, тесно связано у Демокрита с мыслью, что знание, доставляемое ощущениями, — истинное знание. Так, по крайней мере, толкует взгляд Демокрита Аристотель. «…Благодаря тому, — пишет Аристотель, — что за разумное мышление они (Демокрит, Анаксагор и др.) принимают чувственное восприятие… им приходится объявлять истинным все, что представляется отдельному человеку по свидетельству чувственного восприятия» [Met., 111,5, 1009 в; 7, с. 70].

Могло бы показаться, что здесь у Демокрита противоречие. С одной стороны, чувственное явление он признает истинным. С другой стороны, он резко подчеркивает, что не все качества, открываемые посредством ощущения, существуют в самих вещах. Так, ни цвет, ни звук, ни запах, ни тепловые различия и т. п. не существуют в самой действительности.

И Аристотель, и ученик Аристотеля Теофраст рассматривали оба эти утверждения Демокрита как явно противоречащие одно другому. Однако часть свидетельства говорит о том, что у Демокрита речь идет не о противоположности или несовместимости чувственного и интеллектуального видов знания, а скорее о различии между ними, точнее, о различной степени глубины проникновения в истинную природу вещей. И чувственное восприятие дает истинное знание. Вещи, о которых чувства, например зрение, говорят, что они движутся, действительно движутся. Но не все в природе вещей непосредственно доступно чувственному восприятию. По-видимому, в этом смысле необходимо понимать тексты Демокрита о двух видах знания. По Демокриту, есть два рода познания: один — истинный, другой — темный. К темному относятся все следующие виды познания; зрение, слух, обоняние, вкус, осязание. Что же касается истинного познания, то оно совершенно отлично от первого [см. 74, VII. 139; 38, с. 242].

Однако отличие это не есть противоположность. Оно сводится, по сути, лишь к более углубленному проникновению с помощью ума в ту самую природу вещей, до которой не достигают полностью чувства: «Когда темный род познания уже более не в состоянии ни видеть слишком малое, ни слышать, ни обонять, ни воспринимать вкусом, ни осязать, но исследование должно проникнуть до более тонкого, недоступного уже чувственному восприятию, тогда на сцену выступает истинный род познания, так как он в мышлении обладает более тонким познавательным органом» [там же].

Не будучи противоположностью, различие обоих видов знания чрезвычайно важно. С помощью этого различия Демокрит разрешает некоторые затруднения, связанные с теорией атомистического строения тел, в том числе тех, с которыми имеет дело геометрия.

Вот одно из этих затруднений. Согласно атомистической теории, конус состоит из весьма большого числа отдельных кружков, параллельных его основанию. Если это так, то неизбежно возникает вопрос: равны между собой эти кружки по своему поперечнику и площади или нет и какой вид в том и в другом случае будет иметь образующая конуса? Если кружки равновелики, то образующая будет параллельна оси конуса и, таким образом, перед нами будет не конус, а цилиндр. Если же кружки не равновелики, то образующая должна быть не прямой, соединяющей окружность основания конуса с его вершиной, а ломаной линией, наподобие контура ступенек лестницы.

С точки зрения теории познания Демокрита, парадокс легко разрешается. Никакой сплошной образующей конус в действительности не имеет. Элементы конуса состоят из весьма большого, но конечного числа атомов, отделенных друг от друга пустотой. Если бы наш глаз был достаточно проницателен, чтобы воспринять атомарные элементы конуса, то образующая предстала бы перед нами не в виде сплошной прямой, а как бы в виде пунктира, соединяющего одну из атомарных точек, лежащих на окружности основания конуса, с атомарной точкой, составляющей его вершину. Но так как наше чувственное зрение не воспринимает столь малых тел, то нам кажется, будто образующая конуса — сплошная линия.

Аналогичным образом должна была решаться Демокритом и проблема касания прямой линии к окружности круга. В области чувственно воспринимаемых вещей для ненаучного сознания прямая кажется касающейся круга не в одной-единственной точке, а в целом ряде точек, сливающихся в отрезок линии. В области постигаемого умом воззрение геометров современной Демокриту школы предполагает, что прямая и круг — сплошные линии и что прямая касается круга только в одной-единственной точке, которая одновременно лежит как на прямой, так и на окружности круга. По воззрению Демокрита» в области постигаемого умом касание в собственном смысле слова невозможно даже в одной-единственной точке. И прямая и окружность, по Демокриту, — не сплошные линии и состоят из точек-атомов, отделенных один от другого как бы атомами пустоты; непосредственное соприкосновение атома с атомом немыслимо, ибо любые атомы отделяются друг от друга пустотой. Тем не менее Демокрит сохраняет самый термин «касание», вкладывая в него собственный смысл, соответствующий атомистическому пониманию.