В связи с переходом от средневековой науки, базирующейся на астрологии и алхимии, к современной математике, следует упомянуть переплетение "магического" и естественнонаучного языка в трудах врача, математика и астролога Дж. Кардано (1501-1576), описавшего свое решение кубического уравнения в сочинении Ars magna (великое искусство). Его биография напоминает авантюрный роман, а творческая деятельность полностью определялась влиянием мистического опыта. Современный английский математик Р. Пенроуз (см. список литературы) в особенности подчеркивает заслуги Кардано как одного из создателей теории вероятности, а также как математика, впервые использовавшего комплексные числа. Кроме того, начиная с Кардано можно проследить ту линию, которая в конце концов, через работы Абеля и Галуа о разрешимости алгебраических уравнений, привела к появлению современной теории групп, играющей столь большую роль в квантовой физике.
Галилей в "Диалоге о двух системах мира" (см. Избранные труды, М., 1964) объявляет тайны пифагорейских чисел баснями. Однако его кардинальная идея о тайнах природы, записанных на языке математики (см. цитату в начале главы) по происхождению несомненно восходит к пифагорейской традиции. С этого времени, математическая символика почти полностью вытесняет каббалистическую, алхимическую и другие "средневековые" символические системы. Успехи ньютоновской теории тяготения, прежде всего, вывод законов Кеплера (см. гл. 4), закрепили положение математики как "царицы наук" (известное выражение К. Гаусса). Созданный трудами И. Ньютона, Г. Лейбница, И. Барроу, Х. Гюйгенса и других ученых XVII века математический анализ оказался исключительно эффективным средством решения самых разных задач. На протяжении XVIII века огромное количество важных результатов было получено Л. Эйлером, Ж. Лагранжем, П. Лапласом и многими другими математиками, механиками и астрономами.
Несмотря на "прикладное" значение математики, в настоящее время она представляет собой самостоятельную науку с собственными объектами исследования и эстетическими критериями. Начиная с XIX века, центр тяжести в развитии математики постепенно смещается в сторону более четкого анализа используемых понятий, роста строгости и развития "культуры" математического доказательства. Этот процесс сопровождается некоторыми издержками:
Математика наших дней походит на крупный оружейный магазин мирного времени. Его витрина заполнена роскошными вещами, которые своим остроумным, искусным, пленяющим глаз исполнением восхищают знатока, а подлинные истоки и назначение этих вещей, их способность поражать врага отходят в сознании на задний план вплоть до полного забвения (Ф. Клейн, Лекции о развитии математики в XIX столетии, т.1, М., Наука, 1989, с.86).
На достаточно большом удалении от своего эмпирического источника и тем более во втором и третьем поколении, когда математическая дисциплина лишь косвенно черпает вдохновение из идей, идущих от реальности, над ней нависает смертельная опасность. Ее развитие все более и более определяется чисто эстетическими соображениями; она все более и более становится искусством для искусства... Я убежден, что "эмпирическая" подпитка была необходимым условием сохранения неувядаемой молодости и жизнеспособности математики в прошлом и что аналогичное утверждение останется в силе и в будущем (Дж. фон Нейман, цит. по: М. Клайн, Математика. Утрата определенности, с.338).
Вместе с тем, математика продолжает сохранять свою "непостижимую эффективность в естественных науках", давшую название знаменитой статье Е. Вигнера:
Математический язык удивительно хорошо приспособлен для формулировки физических законов. Это чудесный дар, которого мы не понимаем и которого не заслуживаем. Нам остается лишь благодарит за него судьбу и надеяться, что в своих будущих исследованиях мы сможем по-прежнему пользоваться им (Е. Вигнер, Этюды о симметрии, с. 197).
Рискуя несколько шокировать "сциентистски" настроенного читателя, можно тем не менее отметить очевидную аналогию между верой современного ученого в "непостижимую эффективность математики" и верой человека традиционного общества в магию чисел. Примеры такой эффективности дествительно многочисленны и впечатляющи. Можно указать, например, на основное уравнение, описывающее свойства электрона - уравнение Дирака. Оно было установлено Дираком в 1927 г. из соображений "математического изящества" и не только прекрасно описало все известные к тому времени свойства электрона, но и привело к предсказанию существования античастицы электрона - позитрона, впоследствии подтвержденному экспериментально. Еще более ярким примером является общая теория относительности (современная теория тяготения), созданная Эйнштейном в 1915 г. как достаточно формальная математическая конструкция почти без всякой экспериментальной основы и блестяще подтвержденная всеми последующими экспериментами и астрономическими наблюдениями. Однако, если мы захотим понять эти успехи, это может оказаться делом не более простым, чем объяснить, каким образом пересчет девушек (см. выше цитату из Фрэзера) может повредить их здоровью. "Самое непостижимое в мире - то, что он постижим" (А. Эйнштейн), причем зачастую - постижим на математическом языке. Следующий отрывок дает описание "мистического опыта", связанного с чистой математикой.
В математике, дополненной философией и психологией, я нашел то, что обычно дает человеку религия. Я осознал в этом присутствие реальности в форме необычайной чистоты, и предел внутреннего проникновения, которого я тогда достиг, хотя мне и недоставало соответствующего понимания и различения, не был превзойден с тех пор никогда, вплоть до седьмого числа прошлого месяца... То, чего я достиг благодаря математике на языке символов - а это был редкий уровень сознания, - должна была дополнить философия, так чтобы это могло стать ясным для понимания. Философия добавила способность размышления и сосредоточения к чистому свету математики (Ф. Меррелл-Вольф, Пути в иные измерения, с.145-146).
Вспомним также, что Эйнштейн в детстве воспринял "Начала" Евклида как "священную книгу по геометрии".
Ряд крупных исследователей, пытающихся всерьез понять статус математических понятий и причину их эффективности, склоняется к тому или иному варианту платонизма. Так, выдающийся английский ученый - специалист в области математической физики Р. Пенроуз посвятил значительную часть своих книг "Новый разум императора" и "Тени разума" (см. список литературы) аргументации в пользу реального существования мира математических идей. Математические понятия, выражающие "гармонию" мира, вечны и неуничтожимы подобно платоновским идеям:
В настроенной лире гармония - это нечто невидимое, бестелесное, прекрасное и божественное, а сама лира и струны - тела, то есть нечто телесное, сложное, земное и сродное смертному. Представь себе теперь, что лиру разбили или же порезали и порвали струны, - приводя те же доводы, какие приводишь ты, кто-нибудь будет упорно доказывать, что гармония не разрушилась и должна по-прежнему существовать. Быть того не может, скажет такой человек, чтобы лира с разорванными струнами и сами струны - вещи смертной природы - все еще существовали, а гармония, сродная и близкая божественному и бессмертному, погибла, уничтожилась раньше, чем смертное. Нет, гармония непременно должна существовать, и прежде истлеют без остатка дерево и жилы струн, чем потерпит что-нибудь худое гармония (Платон, Федон; см. также вынесенные в эпиграф строки Мандельштама).
Близких взглядов на сущность математических идей и понятий придерживался В. Гейзенберг (см. книгу "Физика и философия. Часть и целое"). Другой выдающийся физик, В. Паули, полагал, что более правильным образом для того, чтобы охарактеризовать статус математических понятий, являются юнговские архетипы. В отличие от платоновских идей, они имеют динамический характер и не могут рассматриваться как вечные и неизменные, однако также принадлежат к некоторой реальности за пределами индивидуальных сознаний (см. книгу К. Лаурикайнена). Высокую оценку математики можно найти и в оккультной литературе.
