Об ограниченности числовых и геометрических представлений говорит Г. Гейне.
Поскольку идеи проявляются в нашем духе и природе,они могут быть очень хорошо выраженными числами; но все же число остается всегда знаком идеи, а никак не самой идеей. Мастер еще сознает это различие, ученик же забывает о нем и передает своим ученикам лишь числовую иероглифику, голые шифры, живое значение которых никому уже не известно... То же относится и к прочим элементам математической формы. Духовное в своем вечном развитии не терпит никакого фиксирования; как и в числе, оно столь же мало может быть фиксировано в линии, треугольнике или круге (К истории религии и философии в Германии).
Преимущества обыденного "естественного" языка, как и символа в высоком смысле слова, обусловлены его многозначностью.
- Когда я беру слово, оно означает то, что я хочу, не больше и не меньше, - сказал Шалтай высокомерно (Л. Кэрролл, Алиса в Зазеркалье).
Связанные с этим обстоятельством недостатки строгого логико-математического языка отмечает и ученый-естествоиспытатель:
Первичным языком, который вырабатывают в процессе научного уяснения фактов, является в теоретической физике обычно язык математики, а именно математическая схема, позволяющая физикам предсказывать результаты будущих экспериментов... Но и для физика возможность описания на обычном языке является критерием того, какая степень понимания достигнута в соответствующей области... Логический анализ приносит с собой опасность слишком большого упрощения. В логике внимание направлено на специальные языковые структуры, на однозначное связывание посылок и заключений, на простые схемы рассуждений. Всеми другими структурами в логике пренебрегают. Эти структуры могут получаться, например, благодаря ассоциациям между определенными промежуточными значениями слов... Тот факт, что любое слово может вызвать в нашем мышлении многие, только наполовину осознаваемые движения, может быть использован для того, чтобы выразить с помощью языка определенные стороны действительности более отчетливо, чем это было бы возможно с помощью логической схемы (В. Гейзенберг, Физика и философия. Часть и целое, с.104-106).
Вообще, математическое мышление отличается заметной спецификой, которая может оказывать существенное влияние на личность.
Бойяи... вызвал на дуэль 13 (?!) молодых людей, состоящих на государственной службе, и в промежутках между поединками развлекался игрою на скрипке, составлявшей единственную движимость в его доме. Когда ему назначили пенсию, он велел напечатать белыми буквами на черном фоне пригласительные билеты на свои похороны и сделал сам для себя гроб. Через семь лет он снова напечатал второе приглашение на свои похороны, считая, вероятно, первое уже недействительным, и в духовном завещании обязал наследников посадить на могиле яблоню, в память Евы, Париса и Ньютона. И такие штуки проделывал великий математик, исправивший геометрию Эвклида! (Ц. Ломброзо, Гениальность и помешательство)
В то же время, математика как язык обладает своими уникальными особенностями и преимуществами, дисциплинируя ум:
Начала математического познания отчетливы, но в обыденной жизни неупотребительны, поэтому с непривычки в них трудно вникнуть; зато всякому, кто вникнет, они совершенно очевидны, и только совсем дурной ум не способен построить правильного рассуждения на основе столь самоочевидных начал (Б. Паскаль, Мысли, с. 281).
Но даже эта "очевидность" таит в себе опасности, связанные с сужением кругозора.
Всякий, изучающий математику, приходит в такой восторг от точности охватываемых ею наук и ясности их доказательств, что о философах [в широком смысле] у него начинает складываться благоприятное мнение... Это очень большое несчастье... Мало существует людей, занимающихся математикой и не становящихся при этом вероотступниками и не скидывающих с голов своих уз благочестия (Газали, Избавляющий от заблуждения).
С этой точки зрения можно расценивать сомнительные изыскания таких прекрасных математиков, как И. Шафаревич и А. Фоменко, в области политологии и истории соответственно. Неизбежными упрощениями страдают и в принципе интересные исследования религиозной символики Б. Раушенбахом (например, непротиворечивая "векторная модель св.Троицы"); в этой связи еще раз вспомним слова Гр. Паламы о том, что от науки запрещается ожидать точных познаний о божественном (см. конец гл.5).
Как бы то ни было, сейчас математические понятия не кажутся нам столь самоочевидными, как во времена Паскаля. Проблемы, связанные с более тонкими особенностями языка математики, рассматриваются в последнем разделе этой главы.
8.3 Математика как символическая система
Стало быть, ум математический будет правильно работать, только если ему заранее известны все определения и начала, в противном случае он сбивается с толку и становится невыносимым, ибо правильно работает лишь на основе четко сформулированных правил (Б. Паскаль, Мысли).
Быть может, прежде губ уже родился шепот,
И в бездревесности кружилися листы,
И те, кому мы посвящаем опыт,
До опыта приобрели черты.
(О. Мандельштам)
Существуют истины, слишком высокие для того, чтобы быть выраженными не только в числах, но и в словах (отождествление слова и Слова - Бога в приведенном в предыдущем разделе стихотворении Гумилева, разумеется, приходится рассматривать как поэтическую вольность). Они могут быть (если могут) выражены лишь в образах - не рассказаны, а показаны. В этом едины как древние тексты:
Истина не пришла в мир обнаженной, но она пришла в символах и образах. Он не получит ее по-другому. Есть возрождение и образ возрождения. Следует воистину возродить их через образ. Каково воскресение? И образ через образ следует, чтобы он воскрес. Брачный чертог и образ через образ - следует, чтобы они вошли в истину, которая - восстановление. Это следует тем, которые не только приобретают имя Отца, и Сына, и Духа святого, но приобретают их для самих себя. Если некто не приобрел их для себя, имя также будет отнято у него (Евангелие от Филиппа 67),
так и один из наиболее влиятельных философов XX века:
6.521. Решение жизненной проблемы мы замечаем по исчезновению этой проблемы. (Не потому ли те, кому после долгих сомнений стал ясен смысл жизни, все же не в состоянии сказать, в чем состоит этот смысл).
6.522. В самом деле, существует невысказываемое. Оно показывает себя, это - мистическое (Л. Витгенштейн, Логико-философский трактат).
В то же время,
Когда есть образ, есть и заблуждение. Если же смотреть на это с точки зрения образа, который не есть образ, то тогда и распознаешь Так Приходящего (Алмазная сутра).
Образное и символическое мышление и интуиция, вопреки распространенному среди гуманитариев мнению, играют большую роль в научном творчестве, особенно если оно происходит на достаточно высоком уровне:
Он стал поэтом, для математики у него было слишком мало воображения (Д.Гильберт об одном из своих бывших учеников).
Впрочем, часто процесс научного творчества остается "за кадром". Такая ситуация может возникать даже в работе физиков-экспериментаторов.
Экспериментальные исследования, которыми Ампер установил законы механического взаимодействия между электрическими токами, являются одним из наиболее блестящих достижений науки. Все в совокупности, и теория и эксперимент, как будто появились в полной зрелости и в полном вооружении из головы "Ньютона электричества". Эти исследования закончены по форме, идеальны по точности и резюмированы в формуле... Метод Ампера, однако, хотя и изложен в индуктивной форме, не позволяет нам проследить процесс образования и развития идей, которыми он руководствовался. Мы с трудом можем поверить, что Ампер в действительности открыл закон взаимодействия при помощи описываемых им экспериментов. Мы вынуждены подозревать, в чем, впрочем, признается сам Ампер, что закон открыт им при помощи некоего процесса, который он нам не показывает... Фарадей, напротив, показывает нам свои как неудачные, так и удачные эксперименты, как свои несозревшие идеи, так и идеи разработанные... Поэтому каждому изучающему следовало бы читать исследования Ампера как блестящий образец научного стиля при изложении открытия, но ему следовало бы также изучать Фарадея для воспитания научного духа на той борьбе противоречий, которая возникает между новыми фактами, излагаемыми Фарадеем, и идеями, рождающимися в его собственном мозгу (Дж.К. Максвелл, Трактат об электричестве и магнетизме).
