А. А. Карацуба.

Числа заполнения

Чи'сла заполне'ния в квантовой механике и квантовой статистике, числа, указывающие степень заполнения квантовых состояний частицами квантово-механической системы многих тождественных частиц . Для системы частиц с полуцелым спином (фермионов) Ч. з. могут принимать лишь два значения: 0 для свободных состояний и 1 для занятых, для системы частиц с целым спином (бозонов) — любые целые числа: 0, 1, 2,... Сумма всех Ч. з. должна быть равна числу частиц системы. С помощью Ч. з. можно описывать и числа элементарных возбуждений (квазичастиц ) квантовых полей; в этом случае их сумма не фиксирована. Средние по статистически равновесному состоянию Ч. з. для идеальных квантовых газов определяются функциями распределения Ферми — Дирака и Бозе — Эйнштейна [см. Статистическая физика , формула (19)]. Понятие Ч. з. лежит в основе метода квантования вторичного , который называется также «представлением Ч. з.».

  Д. Н. Зубарев.

Численное решение уравнений

Чи'сленное реше'ние уравне'ний, нахождение приближённых решений алгебраических и трансцендентных уравнений. Ч. р. у. сводится к выполнению арифметических операций над коэффициентами уравнений и значениями входящих в него функций и позволяет найти решения уравнений с любой наперёд заданной точностью. К Ч. р. у. сводятся многие задачи математики и её приложений. Хотя общие методы Ч. р. у. появились лишь в 17 в. (И. Ньютон ), но ещё Леонардо Пизанский (начало 13 в.) вычислил корень уравнения х³ + 2x² + 10x = 20 с ошибкой, меньшей чем

 В конце 16 в. И. Бюрги (Швейцария) вычислил корень уравнения 9 — 30x² + 27x⁴ — 9x⁶ + x⁸ = 0, определяющего длину стороны правильного девятиугольника. Приблизительно в то же время Ф. Виет дал метод вычисления корней алгебраических уравнений, сходный с Ньютона методом .

  Численное решение алгебраических уравнений разбивается на следующие этапы: 1) выделение кратных корней, сводящее задачу к решению уравнения с простыми корнями; 2) определение границ, между которыми могут лежать корни уравнения; 3) разделение корней, т. е. указание промежутков, каждый из которых содержит не более одного простого корня (см. Штурма правило ); 4) грубое определение приближённого значения корня, выполняемое графически или каким-либо иным способом (например, при помощи изучения перемен знака левой части уравнения); 5) вычисление корня с заданной точностью. Наиболее распространёнными методами для этого являются методы ложного положения, метод Ньютона, Лобачевского метод ,последовательных приближений метод , разложение в ряды и т.д.

  При численном решении трансцендентных уравнений ограничиваются этапами 4 и 5. О численном решении дифференциальных уравнений см. в ст. Приближённое решение дифференциальных уравнений.

  Лит.: Энциклопедия элементарной математики, кн. 2 — Алгебра, М.—Л., 1951; Курош А. Г., Курс высшей алгебры, 11 изд., М., 1975.

Численные методы

Чи'сленные ме'тоды в математике, методы приближённого решения математических задач, сводящиеся к выполнению конечного числа элементарных операций над числами. В качестве элементарных операций фигурируют арифметические действия, выполняемые обычно приближённо, а также вспомогательные операции — записи промежуточных результатов, выборки из таблиц и т.п. Числа задаются ограниченным набором цифр в некоторой позиционной системе счисления (десятичной, двоичной и т.п.). Т. о., в Ч. м. числовая прямая заменяется дискретной системой чисел (сеткой); функция непрерывного аргумента заменяется таблицей её значений в сетке (см. Таблицы математические ); операции анализа, действующие над непрерывными функциями, заменяются алгебраическими операциями над значениями функций в сетке. Ч. м. сводят решение математических задач к вычислениям, которые могут быть выполнены как вручную, так и с помощью вычислительных машин. Разработка новых Ч. м. и применение их в ЭВМ привели к возникновению вычислительной математики .

Числитель

Числи'тель дроби m/n , число m , показывающее, из скольких долей ¹ /_n составлена дробь .

Числительное

Числи'тельное, именная часть речи , общим лексическим значением которой является количество лиц или предметов. Грамматически Ч. характеризуется наличием категории падежа (в языках с развитой морфологией), отчасти рода (в языках, имеющих грамматический род, некоторые Ч. обладают родовыми формами, например в русском языке «два», «две»), отсутствием категории числа . По характеру выражения количественного значения выделяются определённо-количественные Ч. (два, десять и т.п.) и неопределённо-количественные Ч. (много, мало и т.п.). Особую группу образуют собирательные Ч., обозначающие количество как совокупность (двое, трое, пятеро, оба). По структуре различаются простые (два, три, одиннадцать), сложные (пятьдесят, семьдесят) и составные Ч. (тридцать шесть, сто десять). Многие учёные считают прилагательными т. н. порядковые Ч. и слово «один», имеющие различия в числе и синтаксический род. Слова «десяток», «сотня», «тысяча», «миллион» относят к существительным, поскольку они обладают всеми признаками этой части речи. В истории славянских языков некоторые Ч. произошли от других частей речи (например, «пять» — существительное). Ч. следует отличать от других слов с количественным значением.

  Лит.: Супрун А. Е., Славянские числительные, Минск, 1969; Виноградов В. В., Русский язык, 2 изд., М., 1972.

  В. А. Виноградов.

«Число»

«Число'», государственная налоговая система, введённая в 50-х гг. 13 в. на территориях, подвластных монгольским ханам. «Ч.» сменило откупную систему налогов с завоёванных монголами земель. При великом хане Менгу (1251—59) «Ч.» было введено в Китае, Средней Азии, Иране, Армении, было распространено на русские земли (Северо-Восточная Русь, Рязанское и Муромское княжества, Новгород Великий). Для этого монгольскими чиновниками были проведены переписи населения, которое делилось на десятки, сотни, тысячи и «тьмы» (10 тыс.). Служители церкви из переписи исключались. Лица, проводившие «Ч.», назывались численниками или писцами. Численники переписывали население по домам. Исчисление населения сопровождалось многочисленными злоупотреблениями и вызывало восстания (восстание в Новгороде Великом в 1257). На Руси деление населения по десятичной системе для уплаты налогов или экстраординарных ордынских сборов сохранялось вплоть до 15 в.

  Лит.: Насонов А. Н., Монголы и Русь, М.—Л., 1940; Павлов П. Н., К вопросу о русской дани в Золотую Орду, «Уч. зап. Красноярского гос. пед. института», т. 13. Серия историко-филологическая, в. 2, Красноярск. 1958.

Число (в языкознании)

Число' в языкознании, грамматическая категория, обозначающая в предложении количество участников действия (субъектов и объектов ) с помощью морфологических средств. Основным противопоставлением в категории Ч. является единственность — множественность. В некоторых языках имеется также двойственное Ч. и реже тройственное. С развитием языка двойственное Ч. может разрушаться и поглощаться множественными Ч., как это было в истории славянских языков (например в старославянском языке различались единственные, множественные и двойственные Ч.: «ты» — «вы» — «ва»). Среди форм и значений многие Ч. различаются множественное дистрибутивное (когда множество мыслится как состоящее из отдельных предметов, например «листы») и множественное собирательное (когда множество мыслится как единая совокупность, например «листья»). Собирательное значение может выражаться формой единственного Ч. («тряпьё», «вороньё»). Формы множественных Ч. могут также обозначать родовое понятие (родовое множественное Ч.), например «в этой местности водятся волки». Употребление формы множественного Ч. в значении единственного Ч. наблюдается в случаях вежливого множественного Ч. («вы» при обращении к одному лицу) и множественные Ч. величия («мы» в речи царствующих особ). Как независимая категория Ч. свойственно существительным и личным местоимениям, другие части речи (глагол, прилагательное, прочие разряды местоимений) получают числовые характеристики по согласованию (синтаксическое Ч.). Согласование по числу обязательно в индоевропейских языках : «он работает» — «они работают», англ. he works — they work. Однако с разрушением морфологии согласование также может исчезать, например в английском языке уже нет согласования по Ч. между прилагательным и существительным (clever child — «умный ребёнок» — clever children — «умные дети»). Способы выражения множественных Ч. различны: аффиксальное Ч. («стол» — «столы», англ. table — tables), супплетивное Ч. («человек» — «люди»), см. Супплетивизм ; ломаное Ч. (араб. radžulun — «мужчина», ridžalun — «мужчины»; изменяется огласовка корня); множественное Ч. с повтором (индонез. оранг — «человек», оранг-оранг — «люди»). В индоевропейских языках форма множественного Ч. обязательна, если существительное имеет при себе количественное слово (десять книг, много книг). В некоторых языках существительное в таких конструкциях употребляется в форме единственного Ч. (венг. könyv — «книга», tiz könyv — «10 книг», sok könyv — «много книг»). Во многих языках Азии и Америки для выражения множественного Ч. существительных в конструкции с числительным используются специальные элементы — классификаторы (нумеративы), различные для разных лексических групп существительных; последние при этом своей формы не меняют (вьетнамский яз. hai con meo — «две кошки», где con — классификатор).