В начале 30-х гг. 20 в. И. М. Виноградовым был найден т. н. метод тригонометрических сумм, позволивший решить многие проблемы Ч. т. Так, занимаясь проблемой Варинга, И. М. Виноградов обнаружил (1929), что результат Харди — Литлвуда будет значительно проще, если вместо производящих рядов рассматривать тригонометрические суммы вида

,

  где F (x ) — действительная функция, и пользоваться соотношением

  Тогда I_k (N ) в проблеме Варинга запишется так:

,

  где

.

  Далее интервал интегрирования [0,1] разбивается рациональными несократимыми дробями вида a /b , 0 £ а < b £ t, t — параметр, зависящий от N , на подинтервалы подобные «большим» и «малым» дугам кругового метода. Интервалы, отвечающие дробям с малыми знаменателями, и сумма интегралов по ним дают главный член асимптотической формулы для I_k (N ). Другие интервалы отвечают «малым» дугам; для них И. М. Виноградов оценивает ½S (a)½ методом Вейля и получает остаточный член. К тригонометрическим суммам сводятся и др. задачи Ч. т.: распределение дробных долей функций, целые точки в областях на плоскости и в пространстве, порядок роста дзета-функции в критической полосе и др. Причём главным в таких задачах является вопрос о возможно более точной оценке модуля тригонометрической суммы. И. М. Виноградов предложил два метода оценок тригонометрических сумм. Первый метод (1934) дал возможность получить новые оценки сумм Вейля. Следствием этого явились современные оценки, выведена асимптотическая формула в проблеме Варинга при k ³ 4n² lnn , доказано, что для разрешимости уравнения Варинга при N ³ N (n ) достаточно не более 3n lnn + 11n слагаемых, получен новый остаточный член в асимптотических формулах для p(x ) и y(х ) (И. М. Виноградов, 1957) порядка

, c > 0,

  получено решение проблемы Гильберта — Камке (К. К. Марджанишвили , 1953).

  Второй метод Виноградова (1937) позволил оценить такие тригонометрические суммы, в которых суммирование ведётся по простым числам:

.

  Это привело к доказательству асимптотической формулы для числа представлений нечётного числа суммой трёх простых, из которой следовало, что все достаточно большие нечётные числа являются суммой трёх простых. Тем самым была решена Гольдбаха проблема . Этот метод привёл к решению других общих задач Ч. т., например проблемы Варинга в простых числах, проблемы распределения квадратичных вычетов и невычетов в последовательностях вида р + а , где р принимает значения простых чисел.

  Развитие идей А. Туэ (построение вспомогательного многочлена с высокой кратностью корня) и Д. Пойа (США) (целая аналитическая функция, принимающая в целых положительных точках целые значения и растущая медленнее 2^g½S½ , g < 1, является многочленом) привело А. О. Гельфонда и нем. математика Т. Шнейдера (1934) к решению 7-й проблемы Гильберта, утверждающей трансцендентность чисел вида a^b , a ¹0,1, b — алгебраическое число степени ³ 2. К. Зигель доказал ряд теорем о трансцендентности значений функций типа e^x (т. н. Е -функции) в алгебраических точках.

  В алгебраической Ч. т. доказан ряд теорем, обобщающих теоремы теории целых чисел на целые числа алгебраических числовых полей; некоторые из них привели и к чисто арифметическим результатам, сюда, в частности, относится теория представлений чисел полными и неполными разложимыми формами (простейшей из таких задач является уравнение Пелля). Развита также теория решений сравнений от двух и более переменных, из которой, например, следует, что сравнение

F (x , у ) º 0 (mod р ),

  где F — абсолютно неприводимый многочлен, имеет

 решений (теорема Хассе — Вейля).

  Начиная с конца 40-х гг. и по настоящее время (1978) в Ч. т. появилось много работ в самых различных направлениях. Исследования ведутся как в классических областях, так и в новых. Советскими математиками Б. Н. Делоне и Д. К. Фаддеевым полностью исследовано диофантово уравнение x³— ау³ = 1 (1940). В теории дзета-функции Римана А. Сельберг (Норвегия, 1942) доказал, что конечная доля всех нулей z(s ) лежит на критической прямой Res =¹ /₂ ; Ю. В. Линник доказал, что наименьшее простое число в арифметической прогрессии с разностью k не превосходит k^c , с — постоянная, и разработал дисперсионный метод (1958—1961), с помощью которого вывел асимптотическую формулу для числа представлений натурального N суммой простого и двух квадратов (проблема Харди — Литлвуда); этим же методом он получил асимптотическую формулу для числа решений неопределённого уравнения вида р — а = ху , р £ N , ху £ N , а — фиксированное целое (проблема простых делителей Титчмарша). Метод тригонометрических сумм Виноградова получил дальнейшее развитие в работах самого И. М. Виноградова и его учеников. Безуспешные попытки доказать гипотезу Римана привели к ряду методов, которые обходят её и в то же время позволяют решить определённые задачи Ч. т., выводимые из этой гипотезы. Сюда относится проблема оценки разности p_n+1 — р_п = D_n , которая сведена к оценке числа нулей дзета-функции в прямоугольниках вида s £ Res £ 1, s > ¹ /₂ , ½Im s ½£ Т. Из таких «плотностных» теорем и границы нулей x(s ), полученной на основе метода Виноградова, следует, что p_n+1 — р_п = О (р_п^0,6 ). К подобного рода результатам пришли и в теории распределения простых чисел в арифметических прогрессиях и её применениях к аддитивным задачам с простыми числами.

  В теории трансцендентных чисел английский математик К. Рот (1955) усилил метод Туэ и доказал, что алгебраическое число не может быть приближено рациональной дробью P/Q существенно точнее, чем Q ^¾2¾e , e>0 — произвольно мало; английский математик А. Бейкер (1966) получил оценку снизу линейной формы логарифмов алгебраических чисел, что привело к эффективному доказательству теоремы Туэ о конечности решений уравнения

a xⁿ + a₁ x^n¾1 y +... + a_n—1 xy ^n—1 + а_п уⁿ = А

(указываются границы этих решений) и к эффективному усилению теоремы Лиувилля о приближении алгебраических чисел рациональными дробями. Большое количество проблем Ч. т. ещё не решено (сюда относятся проблемы простых близнецов, бесконечности простых чисел вида n² + 1, целых точек в круге и под гиперболой, распределения нулей дзета-функции, трансцендентность чисел p+е и постоянной Эйлера и мн. др.).

  Лит.: Виноградов И. М., Основы теории чисел, 8 изд., М., 1972; его же, Метод тригонометрических сумм в теории чисел, М., 1971; его же, Особые варианты метода тригонометрических сумм, М., 1976; Карацуба А. А., Основы аналитической теории чисел, М., 1975; Боревич З. И., Шафаревич И. Р., Теория чисел, 2 изд., М., 1972; Дэвенпорт Г., Мультипликативная теория чисел, пер. с англ., М., 1971; Чандрасекхаран К., Введение в аналитическую теорию чисел, пер. с англ., М., 1974; Хассе Г., Лекции по теории чисел, пер. с нем., М., 1953; Дирихле П. Г. Л., Лекции по теории чисел, пер. с нем., М.—Л., 1936; Титчмарш Е. К., Теория дзета-функции Римана, пер. с англ., М., 1953; Венков Б. А., Элементарная теория чисел, М.—Л., 1937.