Обоснование Кантора понятия действительного Ч. отличается от обоснования Дедекинда, но также основывается на анализе понятия непрерывности. Как в определении Дедекинда, так и в определении Кантора используется абстракция актуальной бесконечности. Так, в теории Дедекинда иррациональное Ч. определяется посредством сечения в совокупности всех рациональных Ч., которая мыслится как данная вся целиком.

  В последние годы разрабатывается концепция «вычислимых» Ч., т. е. таких, приближения к которым могут быть заданы посредством какого-либо алгоритма. Понятие вычислимого Ч. определяется без пользования абстракцией актуальной бесконечности, на базе уточнённого понятия алгоритма.

  Заключительный этап в развитии понятия Ч. — введение комплексных чисел . Источником возникновения понятия комплексного Ч. явилось развитие алгебры. По-видимому, впервые идея комплексного Ч. возникла у итальянских математиков 16 в. (Дж. Кардано, Р. Бомбелли) в связи с открытием алгебраического решения уравнений третьей и четвёртой степеней. Известно, что уже решение квадратного уравнения иногда приводит к действию извлечения квадратного корня из отрицательного Ч., невыполнимому в области действительного Ч. Но это происходит только в том случае, если уравнение не имеет действительных корней. Практическая задача, приводящаяся к решению такого квадратного уравнения, оказывается не имеющей решения. С открытием алгебраического решения уравнений третьей степени обнаружилось след. обстоятельство. Как раз в том случае, когда все три корня уравнения являются действительными Ч., по ходу вычисления оказывается необходимо выполнить действие извлечения квадратного корня из отрицательных Ч. Возникающая при этом «мнимость» исчезает только по выполнении всех последующих действий. Это обстоятельство явилось первым стимулом к рассмотрению комплексных Ч. Однако комплексные Ч. и действия над ними с трудом прививались в деятельности математиков. Остатки недоверия к закономерности пользования ими отражаются в сохранившемся до наших дней термине «мнимое» Ч. Это недоверие рассеялось лишь после установления в конце 18 в. геометрического истолкования комплексных Ч. в виде точек на плоскости и установления несомненной пользы от введения комплексных Ч. в теории алгебраических уравнений, особенно после знаменитых работ К. Гаусса . Ещё до Гаусса, в работах Л. Эйлера , комплексные Ч. начинают играть существенную роль не только в алгебре, но и в математическом анализе. Эта роль стала исключительно большой в 19 в. в связи с развитием теории функций комплексного переменного.

  Совокупность всех комплексных Ч. обладает так же, как совокупность действительных Ч. и совокупность рациональных Ч., свойством замкнутости по отношению к действиям сложения, вычитания, умножения и деления. Более того, совокупность всех комплексных Ч. обладает свойством алгебраической замкнутости, заключающейся в том, что каждое алгебраическое уравнение с комплексными коэффициентами имеет корни снова в области всех комплексных Ч. Совокупность всех действительных Ч. (и тем более рациональных) свойством алгебраической замкнутости не обладает. Так, например, уравнение с действительными коэффициентами х² +1=0 не имеет действительных корней. Как установлено Вейерштрассом, совокупность всех комплексных Ч. не может быть далее расширена за счёт присоединения новых Ч. так, чтобы в расширенной совокупности сохранились все законы действий, имеющие место в совокупности комплексных Ч.

  Наряду с основной линией развития понятия Ч. (натуральные Ч. ® рациональные Ч. ® действительные Ч. ® комплексные Ч.), специфические потребности некоторых областей математики вызвали различные обобщения понятия Ч. в существенно других направлениях. Так, в разделах математики, связанных с теорией множеств, важную роль играют упоминавшиеся выше понятия количественных и порядковых трансфинитных Ч. В современной теории Ч. получили большое значение т. н. р -адические Ч., системы которых получаются из систем рациональных Ч. посредством присоединения новых объектов, отличных от иррациональных Ч. В алгебре изучаются различные системы объектов, обладающие свойствами, в большей или меньшей степени близкими к свойствам совокупности целых или рациональных Ч. — группы ,кольца ,поля , алгебры (см. также ст. Гиперкомплексные числа ).

  Лит.: История математики, т. 1—3, М., 1970—72; Ван дер Варден Б. Л., Пробуждающаяся наука, пер. с голл., М., 1959; Энциклопедия элементарной математики, кн. 1 — Арифметика, М.—Л., 1951; Нечаев В. И., Числовые системы, М., 1972.

  Д. К. Фаддеев.

Число' перено'са, см. Переноса число .

Чи'слхерст-энд-Си'дкап (Chislehurst and Sidcup), город в Великобритании в составе метрополитенского округа Большого Лондона — Бексли.

Чисталёв, Тима Вень Вениамин Тимофеевич [8(20).10.1890, с. Помоздино, ныне Коми АССР, — 13.10.1939, Сыктывкар], коми советский писатель. Родился в крестьянской семье. Учительствовал. Первые литературные опыты относятся к дореволюционному времени. В пейзажной лирике Ч. воспел коми край. Автор поэмы «В дни преображения земли» (1927) о героике социалистического строительства на Севере, первых очерков и рассказов на коми языке; переводил произведения русских писателей.

  Соч.: Олöм вояс. Бöрйöм гижöдъяс, Сыктывкар, 1957.

  Лит.: Микушев А. К., Коми литература и народная поэзия, Сыктывкар, 1961; Коми советские писатели, Сыктывкар, 1968.

Чи'стая ли'ния, генотипически однородное потомство постоянно самоопыляющихся растений или самооплодотворяющихся животных, большая часть генов которого находится в гомозиготном состоянии. Термин введён в 1903 датским генетиком В. Иогансеном , который в опытах на бобовых растениях доказал, что в Ч. л. при одинаковых условиях проявляется сходный фенотип . Ч. л. получают от одного предка и поддерживают с помощью принудительного самоопыления и отбора. Особи в Ч. л. воспроизводят в ряду поколений одни и те же наследственно закрепленные признаки. Ч. л. имеют важное значение в с.-х. производстве, являясь основными структурными элементами сортов растений. Гибридизация двух Ч. л. в ряде случаев приводит к эффекту гетерозиса в первом гибридном поколении (так получают некоторые гибридные формы кукурузы). Иногда термин Ч. л. неправильно применяют к т. н. инбредным линиям, которые представляют собой потомство животных или растений (перекрёстноопыляющихся), получаемое от одной пары предков и поддерживаемое в ряду поколений с помощью постоянных близкородственных скрещиваний и отбора. Такие линии используют в подавляющем большинстве генетических исследований на высших организмах. Например, механизмы канцерогенеза и методы лечения раковых заболеваний изучаются на т. н. «Ч. л.» лабораторных мышей.

  И. И. Толсторуков.

Чи'стая при'быль, в капиталистическом обществе — прибыль за вычетом налогов, используемая предпринимателями и монополиями для расширения производства и на паразитическое потребление. Масса Ч. п. зависит от массы валовой прибыли и величины налогов. Наличие коммерческой тайны, применение повышенных норм амортизации основного капитала и утончённых методов фальсификации отчётов позволяют капиталистам приуменьшать размеры Ч. п. и уплачиваемых налогов.

  Ч. п. социалистических предприятий — это балансовая прибыль, остающаяся после платежей из прибыли государству [плата за фонды, фиксированные (рентные) платежи, взносы свободного остатка прибыли, уплата процентов за кредит]. Ч. п. используется для образования фондов экономического стимулирования , увеличения оборотных средств предприятия, финансирования части капитальных вложений.