Е. С. Кубрякова.

Функция (математ.)

Фу'нкция, одно из основных понятий математики, выражающее зависимость одних переменных величин от других. Если величины x и у связаны так, что каждому значению x соответствует определённое значение у , то у называют (однозначной) функцией аргумента x . Иногда x называют независимой, а у — зависимой переменной. Записывают указанное соотношение между x и у в общем виде так: у = f (x ) или у = F (x ) и т. п. Если связь между x и у такова, что одному и тому же значению x соответствует вообще несколько (быть может даже бесконечное множество) значений у , то у называют многозначной Ф. аргумента x . Задать Ф. у = f (x ) значит указать:

  1) множество А значений, которые может принимать x (область задания Ф.),

  2) множество В значений, которые может принимать у (область значения Ф.), и

  3) правило, по которому значениям x из А соотносятся значения у из В . В простейших случаях областью задания Ф. служит вся числовая прямая или её отрезок а £ x £ b (или интервал а < x < b ).

  Правило отнесения значениям x соответствующих им значений у чаще всего задаётся формулой, устанавливающей, какие вычислительные операции надо произвести над x , чтобы найти у . Таковы, например, формулы

,  и т. п. К вычислительным (или аналитическим) операциям, кроме четырёх действий арифметики, принято относить также операцию перехода к пределу (т. е. нахождение по заданной последовательности чисел a₁ , a₂ , a₃ ,... её предела lima_n , если он существует), хотя никаких общих способов производства этой операции нет. В 1905 А. Лебег предложил общее определение аналитически изобразимой Ф. как Ф., значения которой получаются из значений x и постоянных величин при помощи арифметических действий и предельных переходов. Все т. н. элементарные Ф. sinx , cosx , a^x , , logx , arctgx и т. п. аналитически изобразимы. Например, cosx представляется формулой:

.

  В 1885 К. Вейерштрасс установил аналитическую изобразимость любой непрерывной функции . Именно, он показал, что всякая Ф., непрерывная на каком-нибудь отрезке, является пределом последовательности многочленов вида

c + c₁ x + c₂ x² +...+ c_n xⁿ .

  Кроме описанного здесь аналитического способа задания Ф. при помощи формулы, применяются и др. способы. Так, в тригонометрии Ф. cosx определяется как проекция единичного вектора на ось, образующую с ним угол в x радианов, а Ф.

 в алгебре как число, квадрат которого равен x . Возможность задания этих Ф. при помощи аналитических формул устанавливается лишь при более углублённом их изучении. Упомянем ещё о т. н. функции Дирихле y(x ), равной 1, если x — число рациональное, и 0, если x — число иррациональное. Впервые эта Ф. была введена этим «бесформульным» способом, но впоследствии для неё была найдена и аналитическая формула:

.

  Существуют, однако, и такие Ф., которые не представимы в описанном выше смысле никакой аналитической формулой. Такими Ф., во всяком случае, являются т. н. неизмеримые по Лебегу Ф.

  К Ф., заданным одной аналитической формулой, примыкают Ф., которые на разных частях своей области задания определены различными формулами. Такова, например, Ф. f (x ), заданная так: f (x ) = x , если x £ 1, и f (x ) = x² , если x > 1. Приведённое выше «бесформульное» задание функции Дирихле y(x ) также принадлежит к этому типу.

  Ф. y = f (x ) иногда задаётся своим графиком, т. е. множеством тех точек (x , у ) плоскости, у которых x принадлежит области задания Ф., а у = f (x ). В прикладных вопросах часто довольствуются таким заданием Ф., когда её график просто начерчен на плоскости (рис. ), а значения Ф. снимаются с чертежа. Так, например, верхние слои атмосферы можно изучать при помощи шаров-зондов, несущих самопишущие приборы, непосредственно доставляющие кривые изменения температуры, давления и т. п.

  Чтобы задание Ф. графиком было вполне корректным с чисто математической точки зрения, недостаточно, однако, просто начертить её график, ибо задание геометрического объекта чертежом всегда недостаточно определенно. Поэтому для графического задания Ф. должна быть указана точная геометрическая конструкция её графика. Чаще всего эта конструкция задаётся при помощи уравнения, что возвращает нас к аналитическому заданию Ф., однако возможны и чисто геометрические методы построения графика (например, прямая линия вполне определяется заданием координат двух её точек).

  В технике и естествознании часто встречается следующая ситуация: зависимость между величинами x и у заведомо существует, но неизвестна. Тогда производят ряд экспериментов, в каждом из которых удаётся измерить одно из значений величины x и соответствующее ему значение у . В результате составляется более или менее обширная таблица, сопоставляющая измеренным значениям x соответствующие значения у . Тогда говорят о «табличном» задании Ф. Нахождение для такой Ф. аналитической формулы (см. Интерполяция ) не раз представляло собой важное научное открытие (например, открытие Р. Бойлем и Э. Мариоттом формулы pv = С , связывающей давление и объём массы газа). Табличное задание Ф. с чисто математической точки зрения вполне корректно, если под областью задания Ф. понимать именно то множество значений x , которое внесено в таблицу, и табличные значения у считать абсолютно точными. Кроме Ф. одного аргумента, о которых шла речь, в математике и её приложениях, большое значение имеют Ф. нескольких аргументов. Пусть, например, каждой системе значений трёх переменных x , у , z соответствует определённое значение четвёртой переменной u . Тогда говорят, что u есть (однозначная) Ф. аргументов x , у , z , и пишут u = f (x , у , z ). Формулы u = x + 2y , u = (x + у ) sinz дают примеры аналитического задания Ф. двух и трёх аргументов. Аналогично определяются и многозначные Ф. нескольких аргументов. Ф. двух аргументов z = f (x , y ) можно задать и при помощи её графика, т. е. множества точек (x , у , z ) пространства, у которых (x , у ) принадлежит области задания Ф., а z = f (x , у ). В простейших случаях таким графиком служит некоторая поверхность.

  Развитие математики в 19 и 20 вв. привело к необходимости дальнейшего обобщения понятия Ф., заключавшегося в перенесении этого понятия с переменных действительных чисел сначала на переменные комплексные числа, а затем и на переменные математические объекты любой природы. Например, если каждому кругу x плоскости соотнести его площадь у , то у будет функцией x , хотя x уже не число, а геометрическая фигура. Точно так же, если каждому шару x трёхмерного пространства соотнести его центр у , то здесь уже ни x , ни y не будут числами.