||lx || = |l| ||x ||, l Î

 x , если ||x_n — x ||  0.

  В большом числе задач возникает ещё более частная ситуация, когда в линейном пространстве Х можно ввести скалярное произведение — обобщение обычного скалярного произведения в евклидовом пространстве. Именно, скалярным произведением элементов x , у Î Х называется комплексное число (x , у ) такое, что всегда (x , x ) ³ 0 и (x , x ) = 0 тогда и только тогда, когда x = 0;

 , l, m Î  является нормой элемента x . Такое пространство называется предгильбертовым. Для конструкций Ф. а. важно, чтобы рассматриваемые пространства были полными (т. е. из того, что  для x_m , x_n Î X, следует существование предела , также являющегося элементом Х ). Полное линейное нормированное и полное предгильбертово пространства называются, соответственно, банаховым и гильбертовым. При этом известная процедура пополнения метрического пространства (аналогичная переходу от рациональных чисел к действительным) в случае линейного нормированного (предгильбертова) пространства приводит к банахову (гильбертову) пространству.

  Обычное евклидово пространство является одним из простейших примеров (действительного) гильбертова пространства . Однако в Ф. а. играют основную роль бесконечномерные пространства, т. е. такие, в которых существует бесконечное число линейно независимых векторов. Вот примеры таких пространств, элементами которых являются классы комплекснозначных (т. е. со значениями в

, норма ||x || = ; банахово пространство L_p (T ) всех суммируемых с р -й (p ³ 1) степенью функций на Т , норма ; банахово пространство l_p всех последовательностей таких, что , здесь   (множеству целых чисел), норма ||x || =(å|x_j |^p )^1/p ; в случае p = 2 пространства l₂ и L₂ (T ) гильбертовы, при этом, например, в L₂ (T ) скалярное произведение ; линейное топологическое пространство D (), состоящее из бесконечно дифференцируемых функций на , каждая из которых финитна [т. е. равна нулю вне некоторого интервала (а , b )]; при этом x_n x, если x_n (t ) равномерно финитны [т. е. (а , b ) не зависит от n ] и сходятся равномерно со всеми своими производными к соответствующим производным x (t ).

  Все эти пространства бесконечномерны, проще всего это видно для l₂ : векторы e_j = {0,..., 0, 1, 0,...} линейно независимы.

  С геометрической точки зрения наиболее простыми являются гильбертовы пространства Н , свойства которых больше всего напоминают свойства конечномерных евклидовых пространств. В частности, два вектора x , у Î Н называются ортогональными (x ^ y ), если (x , у ) = 0. Для любого x Î Н существует его проекция на произвольное подпространство F — линейное замкнутое подмножество Н , т. е. такой вектор x_F , что x —x_F ^f для любого f Î F . Благодаря этому факту большое количество геометрических конструкций, имеющих место в евклидовом пространстве, переносится на Н , где они часто приобретают аналитический характер. Так, например, обычная процедура ортогонализации приводит к существованию в Н ортонормированного базиса — последовательности векторов e_j , j Î

, из Н таких, что ||e_j || = 1, e_j ^ e_k при j ¹ k , и для любого x Î H справедливо «покоординатное» разложение

x = å

x_j e_j (1)

где x_j = (x , e_j ), ||x || = å

|x_j |² (для простоты Н предполагается сепарабельным, т. е. в нём существует счётное всюду плотное множество). Если в качестве Н взять L₂ (0, 2p) и положить , j =...,—1, 0, 1..., то (1) даст разложение функции x (t ) Î L₂ (0, 2p) в ряд Фурье, сходящийся в среднем квадратичном. Кроме того, соотношение (1) показывает, что соответствие между Н и l₂ ' {xj} , j Î  гильбертовых пространств H_j — конструкция, подобная образованию Н одномерными подпространствами, описываемому формулой (1); факторизация и пополнение: на исходном линейном пространстве Х задаётся квазискалярное произведение [т. е. возможно равенство (x , x ) = 0 для x ¹ 0], часто весьма экзотического характера, и Н строится процедурой пополнения Х относительно (.,.) после предварительного отождествления с 0 векторов x , для которых (x , x ) = 0; тензорное произведение  — образование его аналогично переходу от функций одной переменной f (x₁ ) к функциям многих переменных f (x₁ ,..., x_q ); проективный предел  банаховых пространств — здесь  (грубо говоря), если  для каждого a; индуктивный предел  банаховых пространств X₁ Ì X₂ Ì..., здесь , если все x_j , начиная с некоторого j , лежат в одном X_j0 , и в нём .  Две последние процедуры обычно применяются для построения линейных топологических пространств. Таковы, например, ядерные пространства — проективный предел гильбертовых пространств Н_a , обладающих тем свойством, что для каждого a найдётся b такое, что h_b Ì Н_a , и это — т. н. вложение Гильберта — Шмидта [D () — пример ядерного пространства].