axⁿ + a₁x^n-1 +... + a_n = 0 (a₀ ¹ 0); (*)

  число n называется степенью У. Решение алгебраич. У. было одной из важнейших задач алгебры в 16–17 вв., когда были получены формулы и методы решения алгебраических У. 3-й и 4-й степеней (см. Алгебра , Кардано формула ) (правила решения алгебраических У. 1-й и 2-й степеней были известны ещё в глубокой древности). Для корней У. 5-й и высших степеней общей формулы не существует, поскольку эти У., вообще говоря, не могут быть решены в радикалах (Н. Абель , 1824). Вопрос о разрешимости алгебраических У. в радикалах привёл (около 1830) Э. Галуа к общей теории алгебраических У. (см. Галуа теория ).

  Каждое алгебраическое У. всегда имеет хотя бы одно решение, действительное или комплексное. Это составляет содержание т. н. основной теоремы алгебры, строгое доказательство которой впервые было дано К. Гауссом в 1799. Если a – решение У. (*), то многочлен axⁿ + a₁x^n-1 +... + a_n делится на х – a. Если он делится на (х – a) ^k, но не делится на (х – a) ^k+1 , то решение a имеет кратность k. Число всех решений У. (*), если каждое считать столько раз, какова его кратность, равно n .

  Если f (x ) – трансцендентная функция , то У. f (x ) = 0 называются трансцендентным (см., например, Кеплера уравнение ), причём в зависимости от вида f (x ) оно называется тригонометрическим У., логарифмическим У., показательным У. Рассматриваются также иррациональные У., то есть У., содержащие неизвестное под знаком радикала. При практическом решении У. обычно применяются различные приближённые методы решения У.

  Среди систем У. простейшими являются системы линейных У., то есть У., в которых f_k суть многочлены первых степеней относительно x₁, x₂,..., х_п (см. Линейное уравнение ).

  Решение системы У. (не обязательно линейных) сводится, вообще говоря, к решению одного У. при помощи т. н. исключения неизвестных (см. также Результант ).

  В аналитической геометрии одно У. с двумя неизвестными интерпретируется при помощи кривой на плоскости, координаты всех точек которой удовлетворяют данному У. Одно У. с тремя неизвестными интерпретируется при помощи поверхности в трёхмерном пространстве. При этой интерпретации решение системы У. совпадает с задачей о разыскании точек пересечения линий, поверхностей и т.д. У. с большим числом неизвестных интерпретируются при помощи многообразий в n -мерных пространствах.

  В теории чисел рассматриваются неопределенные У., то есть У. с несколькими неизвестными, для которых ищутся целые или же рациональные решения (см. Диофантовы уравнения ). Например, целые решения У. x² + y² = z² вид х = m²-n², у = 2 mn, z = m² + n² где m и n – целые числа.

  С наиболее общей точки зрения, У. является записью задачи о разыскании таких элементов некоторого множества А, что F (a ) = Ф (а ), где F и Ф – заданные отображения множества А в множество В. Если множества А и В являются множествами чисел, то возникают У. рассмотренного выше вида. Если А и В – множества точек в многомерных пространствах, то получаются системы У., если же A и В – множества функций, то в зависимости от характера отображения могут получаться также дифференциальные уравнения , интегральные уравнения и др. виды У. Наряду с вопросами нахождения решения У. в общей теории У. различного вида изучаются вопросы существования и единственности решения, непрерывной зависимости его от тех или иных данных и т.д.

  Термин «У.» употребляется (в отличном от указанного выше смысле) и в др. естественных науках, см., например, Уравнение времени (в астрономии), Уравнение состояния (в физике), Уравнения химические , Максвелла уравнения в электродинамике, Кинетическое уравнение Больцмана в теории газов.

Уравнение времени

Уравне'ние вре'мени, разность между средним и истинным солнечным временем; равна разности прямых восхождений истинного и среднего Солнца. Часто У. в. определяют как разность истинного и среднего времени; в этом случае оно имеет противоположный знак, что нужно иметь в виду при пользовании справочниками.

  У. в. непрерывно меняется. Это обусловлено тем, что истинное солнечное время, измеряемое часовым углом истинного Солнца, течёт неравномерно вследствие, во-первых, неравномерности движения Земли по орбите и, во-вторых, наклона эклиптики к экватору. Поэтому У. в. получается в результате сложения двух волн приблизительно синусоидальной формы и почти равной амплитуды (см. рис. ). Одна из этих волн имеет годичный, другая – полугодичный периоды. Четыре раза в году, а именно: около 16 апреля, 14 июня, 1 сентября и 25 декабря У. в. равно нулю и достигает 4 раза наибольшего значения (по абсолютной величине): около 12 февраля + 14,3 мин, 15 мая – 3,8 мин, 27 июля + 6,4 мин и 4 ноября – 16,4 мин. С помощью У. в. может быть найдено среднее местное солнечное время, если известно истинное солнечное время, определённое по наблюдениям Солнца, например с помощью солнечных часов; при этом пользуются формулой:

  m = m + h,

  где m – среднее время, m – истинное время, h – У. в. Значения У. в. на каждый день даются в астрономических ежегодниках и календарях. См. Время .

График уравнения времени: 1 — составляющая уравнения времени, определяемая неравномерностью движения Земли по орбите; 2 — составляющая уравнения времени, определяемая наклоном эклиптики к экватору; 3 — уравнение времени.

Уравнение состояния

Уравне'ние состоя'ния, связывает давление р, объём V и температуру Т физически однородной системы в состоянии равновесия термодинамического : f (p, V, Т ) = 0. Это уравнение называется термическим У. с., в отличие от калорического У. с., определяющего внутреннюю энергию системы U как функцию какого-либо двух из трёх параметров р, V, Т. Термическое У. с. позволяет выразить давление через объём и температуру р = p (V, Т ) и определить элементарную работу dA = = p dV при бесконечно малом расширении системы dV . У. с. является необходимым дополнением к термодинамическим законам, которое делает возможным их применение к реальным веществам. Оно не может быть выведено с помощью одних только законов термодинамики , а определяется или рассчитывается теоретически на основе представлений о строении вещества методами статистической физики . Из первого начала термодинамики следует лишь существование калорического У. с., а из второго начала термодинамики – связь между термическим и калорическим У. с.

, откуда вытекает, что для идеального газа внутренняя энергия не зависит от объёма  = 0. Термодинамика показывает, что для вычисления как термического, так и калорического У. с., достаточно знать любой из потенциалов термодинамическихв виде функции своих параметров. Например, если известна Гельмгольцева энергия F как функция Т и V, то У. с. находят дифференцированием: