знаки в левой и правой частях всех формул согласованы, то есть верхнему (нижнему) знаку слева соответствует верхний (нижний) знак справа. Из них, в частности, получаются формулы для Т. ф. кратных аргументов, например:
Часто бывают полезны формулы, выражающие степени sin и cos простого аргумента через sin и cos кратного, например:
,
.
Формулы для cos2 j и sin2 j можно использовать для нахождения значений Т. ф. половинного аргумента:
(3)
Знак перед корнем выбирается в зависимости от величины .
Суммы или разности Т. ф. различных аргументов могут быть преобразованы в произведения по следующим формулам:
(4)
в первой и последней формулах (4) знаки согласованы. Наоборот, произведения Т. ф. могут быть преобразованы в сумму или разность по формулам:
;
;
.
Производные всех Т. ф. выражаются через Т. ф.:
;
;
;
;
;
.
При интегрировании Т. ф. получаются Т. ф. или их логарифмы:
,
,
,
,
,
.
Интегралы от рациональных комбинаций Т. ф. всегда являются элементарными функциями.
Все Т. ф. допускают разложение в степенные ряды . При этом функции sinx и cosx представляются рядами, сходящимися для всех значений х :
;
.
Эти ряды можно использовать для получения приближённых выражений sin x и cos x при малых значениях х :
а)
, б)
.
Тригонометрическая система 1, cosx , sinx , cos2x , sin2x , ¼, cosnx , sinnx , ¼, образует на отрезке [—p, p] ортогональную систему функций , что даёт возможность представления функций в виде тригонометрических рядов (см. Фурье ряд ).
Для комплексных значений аргумента значения Т. ф. могут быть определены посредством степенных рядов. Т. ф. комплексного аргумента связаны с показательной функцией формулой Эйлера:
.
Отсюда можно получить выражения для sin x и cos x через показательные функции чисто мнимого аргумента (которые также называют формулами Эйлера):
,
Эти формулы также могут быть использованы для определения значений cosz и sinz для комплексного z . Для чисто мнимых значений z = ix (х — действительное) получаем:
,
,
где ch x и sh x — гиперболические косинус и синус (см. Гиперболические функции ). Наоборот,
,
.
Синус и косинус комплексного аргумента могут принимать действительные значения, превосходящие 1 по абсолютной величине. Например:
.
Т. ф. комплексного аргумента являются аналитическими функциями, причём sin z и cos z — целые функции , а tg z , ctg z , sec z, cosec z — мероморфные функции . Полюсы tg z и sec z находятся в точках z = p/2 + pn , а ctg z и cosec z в точках z = pn (n = 0, ± 1, ± 2, ¼). Аналитическая функция w = sin z осуществляет конформное отображение полуполосы —p < x < p, y > 0 плоскости z на плоскость w без отрезка действительной оси между точками —1 и +1. При этом семейства лучей х = x и отрезков y = y переходят соответственно в семейства софокусных гипербол и эллипсов. Вдвое более узкая полоса —p/2 < x < p/2 преобразуется в верхнюю полуплоскость.
Уравнение х = sin y определяет у как многозначную функцию от х . Эта функция является обратной по отношению к синусу и обозначается у = Arc sin x . Аналогично определяются функции, обратные по отношению к косинусу, тангенсу, котангенсу, секансу и косекансу: Arc cos x , Arc tg x , Arc ctg x , Arc sec x , Arc cosec x . Все эти функции называются обратными тригонометрическими функциями (в иностранной литературе иногда эти функции обозначаются sin—1 z, cos—1 z и т.д.).
Т. ф. возникли впервые в связи с исследованиями в астрономии и геометрии. Соотношения отрезков в треугольнике и окружности, являющиеся по существу Т. ф., встречаются уже в 3 в. до н. э. в работах математиков Древней Греции — Евклида, Архимеда, Аполлония Пергского и др. Однако эти соотношения не являются у них самостоятельным объектом исследования, так что Т. ф. как таковые ими не изучались. Т. ф. рассматривались первоначально как отрезки и в такой форме применялись Аристархом (конец 4 — 2-я половина 3 вв. до н. э.), Гиппархом (2 в. до н. э.), Менелаем (1 в. н. э.) и Птолемеем (2 в. н. э.) при решении сферических треугольников. Птолемей составил первую таблицу хорд для острых углов через 30' с точностью до 10—6 . Это была первая таблица синусов. Как отношение функция sin j встречается уже у Ариабхаты (конец 5 в.). Функции tg j и ctg j встречаются у аль-Баттани (2-я половина 9 — начало 10 вв.) и Абуль-Вефа (10 в.), который употребляет также sec j и cosec j. Ариабхата знал уже формулу (sin2 j + cos2 j) = 1, а также формулы (3), с помощью которых построил таблицы синусов для углов через 3°45'; исходя из известных значений Т. ф. для простейших аргументов
.
Бхаскара (12 в.) дал способ построения таблиц через 1 с помощью формул (2). Формулы (4) выводились
Региомонтаном (15 в.) и Дж.
Непером в связи с изобретением последним логарифмов (1614). Региомонтан дал таблицу значений синуса через 1'. Разложение Т. ф. в степенные ряды получено И.
Ньютоном (1669). В современную форму теорию Т. ф. привёл Л.
Эйлер (18 в.). Ему принадлежат определение Т. ф. для действительного и комплексного аргументов, принятая ныне символика, установление связи с показательной функцией, ортогональности системы синусов и косинусов.
