При пересечении двух больших кругов на сфере образуется четыре сферических двуугольника (рис., 3). Сферический двуугольник определяется заданием своего угла. Площадь сферического двуугольника определяется по формуле: S= 2R²A, где R — радиус сферы, А — угол двуугольника, выраженный в радианах.

  Три больших круга, не пересекающихся в одной паре диаметрально противоположных точек, образуют на сфере восемь сферических треугольников (рис., 4); зная элементы (углы и стороны) одного из них, легко определить элементы всех остальных. Поэтому обычно рассматривают соотношения между элементами лишь одного треугольника, притом того, все стороны которого меньше половины большого круга (такие треугольники называют эйлеровыми). Стороны a, b, с сферического треугольника измеряются плоскими углами трёхгранного угла OABC (рис., 5), углы А, В, С треугольника — двугранными углами того же трёхгранного угла. Свойства сферических треугольников во многом отличаются от свойств треугольников на плоскости (прямолинейных треугольников). Так, к известным трём случаям равенства прямолинейных треугольников для треугольников на сфере добавляется ещё четвёртый: два треугольника равны, если равны их соответствующие углы (на сфере не существует подобных треугольников).

  Равными треугольниками считаются те, которые могут быть совмещены после передвижения по сфере. Отсюда следует, что равные сферические треугольники имеют равные элементы и одинаковую ориентацию. Треугольники, имеющие равные элементы и различную ориентацию, называются симметричными; таковы, например, треугольники AC' С и BCC' на рис., 6.

  Во всяком сферическом треугольнике (эйлеровом) каждая сторона меньше суммы и больше разности двух других; сумма всех сторон всегда меньше 2p. Сумма углов сферического треугольника всегда меньше 3p и больше p. Разность s – p = e, где s — сумма углов сферического треугольника, называется сферическим избытком. Площадь сферического треугольника определяется по формуле: S = R²e, где R — радиус сферы. О соотношении между углами и сторонами сферического треугольника см. Сферическая тригонометрия.

  Положение каждой точки на сфере вполне определяется заданием двух чисел: эти числа (координаты) можно определить, например, следующим образом. Фиксируются (рис., 7) некоторый большой круг QQ’ (экватор), одна из двух точек пересечения диаметра PP' сферы, перпендикулярного к плоскости экватора, с поверхностью сферы, например Р (полюс), и один из больших полукругов PAP', выходящих из полюса (нулевой меридиан). Большие полукруги сферы, выходящие из Р, называются меридианами, малые её круги, параллельные экватору,— параллелями. В качестве одной из координат точки М на сфере принимается угол q = РОМ (полярное расстояние, в качестве второй — угол j = AON между нулевым меридианом и меридианом, проходящим через точку М (долгота, отсчитываемая против часовой стрелки).

  Введение координат на сфере позволяет проводить исследование сферических фигур аналитическими методами геометрии. Так, два уравнения

  q = f (t), j = g (t)

или одно уравнение

  F (q, j) = 0

между координатами q и j определяют некоторую линию на сфере. Длина L дуги M₁M₂ этой линии вычисляется по формуле

 

где t₁ и t₂ — значения параметра t, соответствующие концам M₁и M₂ дуги M₁M₂ (рис., 8).

  Лит.: Степанов Н. Н., Сферическая тригонометрия, 2 изд., Л.— М., 1948; Энциклопедия элементарной математики, кн. 4, Геометрия, М., 1963.

Рис. к ст. Сферическая геометрия.

Сферическая тригонометрия

Сфери'ческая тригономе'трия, математическая дисциплина, изучающая зависимости между углами и сторонами сферических треугольников (см. Сферическая геометрия). Пусть А, В, С — углы и а, b, с — противолежащие им стороны сферического треугольника ABC (см. рис.). Углы и стороны сферического треугольника связаны следующими основными формулами С. т.:

                                  (1)

cos а = cos b cos с  + sin b sin с cos А,                (2)

cos A = - cos B cos С + sin B sin С cos a,            (2₁)

sin a cos B = cos b sin c - sin b cos с cos А,         (3)

sin А cos b = cos B sin C + sin B cos С cos a;      (3₁)

в этих формулах стороны а, b, с измеряются соответствующими центральными углами, длины этих сторон равны соответственно aR, bR, cR, где R — радиус сферы. Меняя обозначения углов (и сторон) по правилу круговой перестановки: А ® В ® С ® А  (а ® b ® с ® а), можно написать другие формулы С. т., аналогичные указанным. Формулы С. т. позволяют по любым трём элементам сферического треугольника определить три остальные (решить треугольник).

  Для прямоугольных сферических треугольников (А = 90°, а — гипотенуза, b, с — катеты) формулы С. т. упрощаются, например:

sin b = sin a sin В,                  (1')

cos a = cos b cos c,                (2')

sin a cos B = cos b sin c.        (3')

  Для получения формул, связывающих элементы прямоугольного сферического треугольника, можно пользоваться следующим мнемоническим правилом (правилом Непера): если заменить катеты прямоугольного сферического треугольника их дополнениями и расположить элементы треугольника (исключая прямой угол А) по кругу в том порядке, в каком они находятся в треугольнике (то есть следующим образом: В, а, С, 90° - b, 90° - с), то косинус каждого элемента равен произведению синусов неприлежащих элементов, например,

cos а = sin (90° - с) sin (90° - b)

или, после преобразования,

cos а = cos b cos с (формула 2').

  При решении задач удобны следующие формулы Деламбра, связывающие все шесть элементов сферического треугольника:

,

,

,

.

  При решении многих задач сферической астрономии, в зависимости от требуемой точности, часто оказывается достаточным использование приближённых формул: для малых сферических треугольников (то есть таких, стороны которых малы по сравнению с радиусом сферы) можно пользоваться формулами плоской тригонометрии; для узких сферических треугольников (то есть таких, у которых одна сторона, например а, мала по сравнению с другими) применяют следующие формулы:

                                         (1’’)