1) Д. п. формулируется в проективной геометрии на плоскости. При этом двойственными понятиями являются, например, «точка» и «прямая», «точка лежит на прямой» и «прямая проходит через точку». Каждой аксиоме в проективной геометрии на плоскости формулируется двойственное предложение, которое может быть доказано с помощью этих же аксиом (этим обосновывается Д. п. в проективной геометрии на плоскости). Двойственными утверждениями в проективной геометрии на плоскости являются известные теоремы Паскаля и Брианшона. Первая из этих теорем утверждает, что во всяком шестивершиннике, вписанном в линию 2-го порядка, точки пересечения противоположных сторон лежат на одной прямой (рис. 1 ). Вторая теорема утверждает, что во всяком шестистороннике, описанном около линии 2-го порядка, прямые, соединяющие противоположные вершины, пересекаются в одной точке (рис. 2 ).

  2) Д. п. в абстрактной теории множеств. Пусть дано множество М. Рассмотрим систему всех его подмножеств А, В, С и т.д. Справедливо следующее предложение: если верна теорема о подмножествах множества М, которая формулируется лишь в терминах операций суммы, пересечения и дополнения, то верна также и теорема, получающаяся на данной путём замены операции суммы и пересечения соответственно операциями пересечения и суммы, пустого множества L — всем множеством М, а множества М — пустым множеством L. При этом дополнение суммы заменяется пересечением дополнений, а дополнение пересечения — суммой дополнений.

  Пример 1. Верному соотношению

(A È В )Ç С = (A Ç С ) È (ВÇ С )

двойственно соотношение (также верное)

(АÇ B ) È C = (A È С ) Ç (В È С )

  Пример 2. Верному соотношению

(AÈB)È(ĀÇ`B) = M

двойственно соотношение (также верное)

(ĀÇ `B)Ç(АÈ В) = L ,

где Ā, `B — дополнения множеств А, В во множестве М, А Ç В — сумма множеств А и В, A Ç В— их пересечение.

  3) Д. п. имеет место в математической логике (в исчислении высказываний и в исчислении предикатов).

  4) О топологических законах двойственности см. Топология .

  Лит.: Ефимов Н. В., Высшая геометрия, 4 изд., М., 1961; Александров П. С., Введение в общую теорию множеств и функций, М. — Л., 1948; Гильберт Д. и Аккерман В., Основы теоретической логики, пер. с нем., М., 1947.

Рисунки 1 (слева) и 2 (справа) к ст. Двойственности принцип.

Дво'йственный тари'ф, см. в ст. Таможенные тарифы .

Двор, огороженный участок земли, на котором расположены постройки одного хозяйства. У многих народов, в том числе у русских, слово «Д.» часто употребляется в том же смысле, что и «хозяйство» (см. Крестьянский двор , Колхозный двор ). Различают Д. открытые, не имеющие кровли, и крытые, чаще всего служащие для содержания скота и нередко непосредственно примыкающие к жилым постройкам; крытые Д. распространены у русских (в северных и центральных районах). Соединения крытого Д. с жилым домом русские крестьяне называется связью. При «однорядной» связи Д. располагается непосредственно за избой, составляя как бы её продолжение; при «двурядной» — Д. и жилой дом образуют 2 параллельных ряда. Встречается также «поперечная» и «покоеобразная» (в виде буквы П) связь. В современной деревне скотные Д. располагаются преимущественно вдали от жилых построек.

Двор рудни'чный, совокупность горных выработок около шахтного ствола, предназначенных для обслуживания подземного хозяйства и соединяющих ствол с главными откаточными и вентиляционными выработками (см. Околоствольный двор ).

Дворе'ц (от «княжий двор» — жилище князя), монументальное парадное здание. Первоначально резиденция только властителя, позднее — представителей высших слоев общества (см. также Замок , Палаццо );, в 13—15 вв. Д. стали называть также важнейшие здания органов государственной власти, а с 19 в. — особо значительные сооружения различного общественного назначения. Для дворцового строительства разных эпох характерно участие выдающихся зодчих, живописцев, мастеров декоративного искусства. Д. обычно отличаются крупными размерами, монументальными формами.

  В рабовладельческих деспотиях Востока и в восточной части Средиземноморья строительство Д. было во многом связано с задачами представительности и государственной идеологии и сыграло существенную роль в развитии архитектуры. Во Д. египетских фараонов (например, Рамсеса III в Мединет-Абу, 12 в. до н. э.) превалировали помещения для торжественных приёмов и церемоний, Д. крито-микенской эпохи (кносский Д. на о. Крит, 20—15 вв. до н. э.) при большом числе дворов и постепенной пристройке множества помещений составляли сложную композицию внутренних пространств. В персидских Д. (в Персеполе, 6—4 вв. до н. э.) сохранились рунны торжественных входов, широких лестниц, многоколонных залов.

  Новая важная фаза в развитии архитектуры Д. с заранее продуманной композицией начинается с постройки Д. римского императора Августа (14 г. н. э.); за ним последовали Д. других императоров, возводившиеся в Риме на Палатинском холме [отсюда лат. название Д. — palatium, легшее в основу соответствующих терминов в языках романской группы — palazzo (итал.), palais (франц.), возможно, русского — палата ]. Римские Д. отличались строгой симметрией основных репрезентативных, роскошно отделанных помещений (дворец флавиев, 1 в. н. э.), которые располагались вокруг одного или нескольких дворов, превращенных в сады с фонтанами, водоёмами и скульптурой; разнообразные в плане залы были перекрыты сводами и куполами, которые создавали стройную систему соподчинённых внутренних пространств («Золотой дом» Нерона, 1 в. н.э.). Величественные руины этих Д. поражают размахом, монументальностью, грандиозностью масштабного строя. Влияние развитых в римских Д. архитектурных приёмов сказалось в архитектуре Д. императоров и наместников в римских, европейских, азиатских, и африканских провинциях, а также в странах, входивших в Византийскую империю, где они видоизменялись соответственно местным условиям и художественным традициям [дворец Диоклетиана в Сплите (ок. 300), Большой дворец (4—6 вв.) и Буколеон (5—8 вв.) в Константинополе]. Мавританская архитектура 13—14 вв., отличавшаяся изощрённостью и богатством декора (Д. в Сицилии, Альгамбра в Гранаде и др.), оказала частичное влияние на развитие дворцовой архитектуры Европы (особенно Испании). С развитием средневековых городов-республик в Европе появились Д. органов муниципального самоуправления и должностных лиц (например, в Италии: Палаццо Публико в Сиене, 1297—1310, Дворец дожей в Венеции, Палаццо делла Синьория, или Весккьо, во Флоренции, 13—15 вв.). Наряду со светской знатью Д. строили также представители духовенства (папские Д. в Орвието, 13 в., и в Авиньоне, 14 в.; патриаршие и архиерейские палаты на Руси). Монументальные Д. 15—16 вв. с просторными внутренними дворами, с помещениями для библиотек, залами для собраний живописи, уникальных предметов и т. д., нередко занимавшие целый квартал города, оказали (в эпоху абсолютных монархий) значительное влияние на формирование нового типа Д. — королевского, императорского, царского, в котором парадная репрезентативность получила дальнейшее развитие (Эскориал близ Мадрида, 16 в.; Лувр в Париже, 16—18 вв.). Характерной чертой дворцовых композиций стала анфилада , побуждавшая посетителя к движению, в ходе которого перед ним раскрывались всё новые архитектурно-пространственные эффекты. Композиция фасада строилась на сопоставлении гладких стен, украшенных колоннадами, и сильно выступающих ризалитов, которые как бы связывали здание с окружающим пространством. Расположенные, как правило, на главной планировочной оси площади, парка, сада, здания, Д. доминируют над окружающим пространством (Версаль ; Бленим в Оксфордшире, Англия, 1705—24; Шёнбрунн в Вене, 1695—1749; Палаццо Реале в Казерте близ Неаполя, с 1752). Тот же принцип вполне самостоятельно разрабатывался во дворцовой архитектуре Востока (Императорский дворец в Пекине — огромный комплекс жилых зданий, павильонов и храмов, расположенных среди садов, поднимавшихся террасами к центру осевой композиции). В русских дворцовых комплексах 12—17 вв. ярко выражена такая национальная черта архитектуры, как живописность пространственной композиции, в которой органически сочетались различные по функцией, назначению части здания (хоромы, сени, терема, службы); среди них важное значение имели высотные объёмы церквей, колоколен и т. д. (княжеский Д. в Боголюбове, 12 в.; Теремной Д. Московского Кремля, 17 в.; деревянный Д. в Коломенском, 17 в.). Д. Цворец дожей в Венеции. Зал Большого Совета. 18 — начало 19 вв. грандиозностью размеров, сложностью и в то же время чёткостью объёмно-пространственной структуры близки зап.-европейским, но отличаются звучностью цветового решения фасадов (дворцы Петербурга, Москвы, Киева, многочисленные загородные царские Д. и Д. в дворянских усадьбах). С середины 19 в. Д. — крупные, часто роскошно отделанные общественные здания различного назначения («Хрустальный дворец» на Всемирной выставке в Лондоне, 1851; Дворец спорта в Риме, 1960; и др.). Термин «Д.» не связывается теперь с определённым типом сооружения. Многофункциональные Д. спорта трансформируются, например, в хоккейный или водный стадион, аудиторию, выставочный зал. В советской архитектуре появились новые типы Д. — Д. съездов в Московском Кремле, дворцы культуры, дворцы и дома пионеров и школьников, Д. искусств (в Ташкенте, 1968), Д. бракосочетаний (в Тбилиси, 1964). Они включают один или несколько зрительных залов-аудиторий, обширные фойе-кулуары, многочисленные комнаты для кружковых занятий, подчинённые центральному помещению: во Д. пионеров это Ленинский зал, во Д. искусств — выставочный зал, во Д. бракосочетаний — зал торжественных актов.