Несколько лет спустя Джон Келли, другой математик, прочитал статью Шеннона и понял, что формулу можно с таким же успехом применять и в азартных играх — еще одном занятии, которому способствовало бы понимание возможностей достижения успеха. В 1956 году в статье под названием «Новое толкование скорости передачи информации» Келли указал, что определенные Шенноном различные скорости передачи данных и возможные исходы случайного события, по сути, одно и то же — вероятности, — и одна и та же формула полезна при работе и с тем и с другим[161].
Оптимизационная модель Келли, которую часто называют стратегией оптимального роста, основана на концепции: зная вероятность успеха, вы ставите ту часть своих денежных средств, которая максимизирует темпы роста. Это выражается в виде формулы 2p — 1 = x, где увеличенная в два раза вероятность выигрыша (p) минус 1 равна проценту всей суммы ваших денежных средств, которую вам следует поставить (x). Например, если вероятность выигрыша в казино составляет 55%, вам следует поставить 10% своих денежных средств, чтобы добиться максимального увеличения выигрыша. Если вероятность равна 70%, ставьте 40%. А если знаете, что шансы на выигрыш равны 100%, модель скажет: «Ставьте все».
Конечно, фондовый рынок гораздо сложнее игры в блек-джек. В игре количество карт ограничено — как и количество возможных исходов. Фондовый рынок, на котором представлены многие тысячи акций и миллионы инвесторов, предлагает практически неограниченное количество различных вариантов развития событий. Использование подхода Келли требует постоянных пересчетов и корректировок на протяжении всего инвестиционного процесса. Тем не менее лежащая в его основе концепция — математическая привязка степени вероятности к размеру инвестиций — несет в себе важные уроки.
Я считаю модель Келли привлекательным инструментом для целенаправленных инвесторов. Однако она принесет пользу только тем, кто использует ее ответственно. Применение подхода Келли сопряжено с рисками, и инвесторам было бы разумно осознавать три ограничения:
1. Любому, кто намерен инвестировать — с использованием модели Келли или без нее, — следует иметь долгосрочный прогноз. Даже если у игрока в блек-джек есть надежная модель подсчета, помогающая обыграть казино, не всегда можно рассчитывать на успех в первых же раздачах карт. То же самое относится к инвестированию. Сколько раз инвесторы убеждались, что выбрали правильную компанию, но рынок не торопился вознаграждать их выбор?
2. Будьте осторожны с использованием кредитного плеча. Об опасности заимствования средств для инвестирования на фондовом рынке (с использованием маржинального счета) не раз заявляли и Бен Грэм, и Уоррен Баффет. Неожиданный запрос на ваш капитал может произойти в самый неподходящий момент в игре. Если вы используете модель Келли на маржинальном счете, падение фондового рынка способно вынудить вас продать свои акции, что приведет к отмене ставки с высокой вероятностью.
3. Самая большая опасность при игре с высокой вероятностью — риск превысить ставки. Если вы считаете, что событие имеет 70% вероятности успеха, а на самом деле получается всего лишь 55%, вы рискуете так называемым разорением игрока. Способ минимизировать этот риск — делать пониженные ставки, используя так называемую полумодель Келли или дробную модель Келли. Например, если в модели Келли предлагается поставить 10% вашего капитала, вы можете вместо этого поставить только 5% (полумодель Келли). Как полумодель, так и дробная модель Келли обеспечивают маржу безопасности при управлении портфелем ценных бумаг, а это, наряду с маржой безопасности, которую мы применяем при выборе отдельных акций, обеспечивает двойной уровень защиты.
Поскольку риск превышения ставки намного хуже последствий занижения ставки, я считаю, что всем инвесторам, особенно тем, кто только начинает использовать стратегию целенаправленного инвестирования, следует использовать ставки по дробной модели Келли. К сожалению, минимизация ставок также уменьшает ваш потенциальный выигрыш. Но поскольку зависимость в модели Келли параболическая, последствия занижения ставки не так уж страшны. Применение полумодели Келли, уменьшающее сумму вашей ставки на 50%, снижает потенциальный коэффициент роста прибыли на 25%.
Мнение Чарли Мангера о коэффициентах ставок
В 1994 году Чарли Мангер принял приглашение доктора Гилфорда Бэбкока выступить на студенческом семинаре по инвестициям в бизнес-школе Университета Южной Калифорнии. Он затронул несколько тем, в том числе «искусство обретения житейской мудрости». Чарли также объяснил в свойственной только ему манере, что думает о вероятностях и оптимизации дохода.
«Модель, которая мне нравится, — дабы упростить представление о том, что происходит на рынке обыкновенных акций, — это система ставок на скачки, при которой выигрыши распределяются между победителями пропорционально сумме каждой ставки, — сказал он. — Если задуматься, такая система и есть фондовый рынок. Все приходят туда, делают ставки, и шансы меняются в зависимости от того, на что сделана ставка. Вот что происходит на фондовом рынке».
Он продолжил: «Любому дураку понятно, что у скакуна легкого веса с отличным коэффициентом выигрыша, хорошей позицией и так далее гораздо больше шансов на победу, чем у лошади с целой чередой проигрышей, лишним весом и тому подобное. Но если вы посмотрите на коэффициенты, то увидите, что ставки на плохую лошадь равны сто к одному, а на хорошую — три к двум. Тогда неясно, какая ставка лучше с точки зрения статистики. Расценки изменились таким образом, что обойти систему очень сложно»[162].
Аналогия с ипподромом идеально подходит для инвесторов. Слишком часто инвесторов привлекает рискованная игра, которая дает невероятные шансы, но по какой-либо из бесчисленных причин никогда не заканчивается успехом. А иногда они выбирают верный вариант, даже не задумываясь о выигрыше. Мне кажется, самый разумный подход к скачкам или фондовому рынку — дождаться появления хорошей лошади с заманчивыми шансами на победу.
Психологический момент
Эндрю Бейер, автор нескольких книг о скачках чистокровных лошадей, много лет наблюдал, как участники скачек делают ставки, и видел, что слишком многие теряют деньги из-за импульсивных порывов. На ипподроме, как и везде, менталитет казино — непреодолимый порыв начать действовать: поставить деньги, бросить кости, потянуть за рычаг, сделать что-нибудь еще, — толкает людей на безрассудные шаги без обдумывания своих решений.
Бейер, понимая психологический позыв участвовать в игре, советует игрокам применять тактику разделения ставок на активные и простые. Простые ставки позволены только серьезным игрокам при выполнении двух условий: 1) высокая уверенность в способности лошади выиграть и 2) шансы на выигрыш выше, чем должны быть. Простые ставки требуют серьезных денег. Активные ставки, как следует из названия, предназначены для рискованной игры и предположений, которые удовлетворяют психологическую потребность в игре. Это небольшие ставки, и на них не разрешается тратить значительную часть денежной суммы игрока.
По словам Бейера, когда игрок перестает видеть различие между простыми и активными ставками, он или она «делает шаг, который неизбежно приведет к беспорядочным ставкам без надлежащего баланса между… сильными и слабыми шансами на выигрыш»[163].
От теории к реальности
Теперь давайте применим рассмотренную теорию к реальности фондового рынка. Цепочка рассуждений та же.
1. Рассчитайте вероятности. Вот вероятность, которая вас интересует: каковы шансы, что акции, которые я рассматриваю, со временем принесут экономическую прибыль выше, чем на фондовом рынке?
