Как же нам рассчитать вероятность без повторных экзаменов, которые позволили бы получить частотное распределение? Никак. Остается полагаться только на субъективную интерпретацию вероятностей. Мы делаем это постоянно. Например, можем сказать, что шансы на победу «Пэкерс» против «Ломбарди Трофи» составляют два к одному (или две трети), а вероятность сдачи сложного экзамена — один к десяти. Это вероятностные утверждения, они описывают степень нашей уверенности в событии. Когда невозможно повторить определенное событие в достаточном количестве, чтобы получить интерпретацию вероятности, основанную на частоте, нам приходится полагаться на собственный здравый смысл.
Вы сразу же увидите, что многие субъективные интерпретации этих двух событий могут повести вас в неверном направлении. В случае субъективной вероятности вы сами должны проанализировать свои предположения. Возьмите паузу и обдумайте их. Вы предполагаете, что у вас один шанс из десяти успешно сдать экзамен, потому что на этот раз материал более сложный, а вы недостаточно подготовились… или из-за ложной скромности? Не слепая ли преданность команде «Пэкерс» не позволяет вам признать превосходство другой команды?
Согласно учебникам по байесовскому анализу, если вы считаете, что ваши предположения разумны, «вполне приемлемо» сделать вашу субъективную вероятность определенного события равной частотной вероятности[153]. Нужно лишь отсеять неразумное и нелогичное и оставить разумное. Полезно думать о субъективных вероятностях как о не более чем расширении метода частотной вероятности. На самом деле, во многих случаях субъективные вероятности повышают ценность компании, поскольку такой подход позволяет учитывать операционные проблемы, а не зависеть от долгосрочной статистической закономерности.
Теория вероятностей и фондовый рынок
Осознают это инвесторы или нет, практически все принимаемые ими решения являются упражнениями по теории вероятностей. Для достижения успеха важно, чтобы оценка вероятности сочетала исторические данные с самой свежей доступной информацией. А это и есть байесовский анализ в действии.
«Вычесть вероятность убытка, умноженную на величину возможного убытка, из вероятности выигрыша, умноженной на величину возможного выигрыша. Вот что мы пытаемся сделать, — говорит Баффет. — Способ неидеальный, но работает»[154].
Полезным примером, позволяющим прояснить связь между инвестированием и теорией вероятностей, является практика арбитража рисков. Классический арбитраж — не что иное, как получение прибыли от разницы в цене актива, котируемого на двух разных рынках. Например, сырьевые товары и валюты котируются на разных рынках по всему миру. Если два рынка предлагают разную цену на один и тот же товар, вы можете купить его на одном рынке, продать на другом и получить прибыль от разницы в цене.
Арбитраж рисков — наиболее практикуемая сегодня форма — подразумевает работу с объявленными корпоративными слияниями или поглощениями. Некоторые менеджеры практикуют арбитраж рисков на необъявленных корпоративных событиях, но Баффет избегает этой области, и мы тоже не станем ее касаться. В своем выступлении перед группой студентов Стэнфордского университета Баффет высказал мнение об арбитраже рисков. «Моя работа, — сказал он, — заключается в оценке вероятности того, что события [объявленные слияния] действительно произойдут, и в определении соотношения прибыли и убытка»[155].
Давайте представим такой сценарий. Предположим, что компания Abbott начала дневные торги по цене 18 долларов за акцию. Затем, в середине утра, стало известно, что в этом году, возможно через шесть месяцев, Abbott будет продана компании Costello по цене 30 долларов за акцию. Цена акций Abbott сразу же подскакивает до 27 долларов, после чего курс стабилизируется и начинается активная торговля.
Баффет видит объявление о слиянии и должен принять решение. Прежде всего он пытается оценить степень своей уверенности. Не все корпоративные сделки в итоге реализуются. Совет директоров может неожиданно воспротивиться идее слияния, или Федеральная торговая комиссия выскажет возражения. Никто никогда с точностью не знает, состоится ли сделка, и именно в этом заключается риск.
Процесс принятия решений Баффетом — это упражнение по теме субъективной вероятности. Он объясняет: «Если я считаю, что вероятность события составляет 90% с возможными тремя пунктами роста, а вероятность неудачи равна 10% с возможными девятью пунктами снижения, то это 0,9 доллара против 2,7 доллара, и математическое ожидание составляет 1,8 доллара»[156].
Далее, по словам Баффета, нужно рассчитать необходимый промежуток времени, а затем соотнести доходность инвестиций с другими доступными вам инвестициями. Если вы купили одну акцию компании Abbott за 27 долларов, то, согласно математическим расчетам Баффета, потенциальная прибыль составит 6,6% (1,8 доллара / 27 долларов). Если ожидается, что сделка завершится через шесть месяцев, то доходность инвестиций в годовом исчислении составит 13,2%. Затем Баффет сравнил бы доходность от этого арбитража рисков с другими доступными ему доходами.
Баффет открыто признает, что арбитраж рисков сопряжен с потенциальными убытками. «Мы вполне готовы потерять деньги на данной сделке, — говорит он, — как в случае арбитража, но мы не готовы рассматривать сделки, в которых, по нашему мнению, вероятность ряда взаимозависимых событий одинакового типа приводит к ожидаемому убытку. Мы надеемся, — добавляет он, — что участвуем только в тех сделках, в которых наши расчеты вероятностей верны»[157].
Как мы ясно видим, сделанные Баффетом оценки арбитража рисков — это субъективные вероятности. В арбитражах рисков нет частотного распределения. Каждая сделка индивидуальна. Каждое обстоятельство требует различных оценок. Тем не менее вполне возможно заниматься арбитражем рисков с помощью рациональных математических расчетов. И этот процесс, как мы узнаем далее, ничем не отличается от инвестирования в обыкновенные акции.
Оптимизационная модель Келли
Каждый раз, когда вы заходите в казино, вероятность выйти из него с выигрышем для вас довольно мала. Не удивляйтесь, в конце концов, все мы знаем, что казино никогда не остается в убытке. Но одна игра, если играть в нее правильно, дает вам реальный шанс обыграть казино — и это блек-джек. Во всемирном бестселлере под названием «Обыграй дилера. Победная стратегия игры в блек-джек» Эдвард Торп, математик по образованию, рассказал, как перехитрить казино[158].
Стратегия Торпа основана на простой концепции. Когда в колоде есть десятки, валеты, дамы, короли и тузы, игрок — допустим, вы — имеет статистическое преимущество перед дилером. Если вы назначите –1 для старших карт и +1 для младших, то отслеживать количество сданных карт будет довольно легко: просто ведите счет в уме, складывая и вычитая по мере выпадения каждой карты. Когда число становится положительным, вы знаете, что впереди еще много старших карт. Умные игроки откладывают свои самые крупные ставки на тот момент, когда положительное число достигнет относительного максимума.
Глубоко в основе книги Торпа лежит модель ставок Келли[159]. Келли, в свою очередь, черпал вдохновение у Клода Шеннона, изобретателя теории информации.
Работая в 1940-х годах математиком в лаборатории Белла, Шеннон посвятил значительную часть своей карьеры тому, чтобы найти наиболее оптимальный способ передачи информации по медным проводам без искажения случайным молекулярным шумом. В 1948 году в статье под названием «Математическая теория коммуникации» он описал свое открытие[160]. В ней была приведена математическая формула для определения оптимального объема информации, который с вероятностью успеха можно передать по медному проводу.
