Рис. 3.26. Поверхности нулевой скорости (эквипотенциальные) в плоской круговой ограниченной (m3 ≪ m₁ и m₂) задаче трех тел.

Эквипотенциальная поверхность системы двух массивных тел, проходящая через точку L₁, ограничивает две области простран­ства, контролируемые соответствующим центром притяжения. Их называют полостями Роша, по имени французского математика, который выполнил расчеты. Если легкое тело приближается к окрестности этой точки, то оно будет двигаться по довольно замысловатой траектории (рис. 3.27). Например, мы запустили спутник к Луне, он перескакивает в область контроля Луны, делает там несколько пируэтов, а затем снова оказывается спутником Земли. Но за границы эквипотенциальной поверхности он выйти не может, потому что энергии ему для этого не хватает, он заперт в совместном гравитационном поле двух тел.

Рис. 3.27. Траектория космического аппарата в неинерциальной системе отсчета, в которой два массивных небесных тела неподвижны.

В нашей планетной системе два самых массивных тела — Солн­це и Юпитер. В точках Лангранжа этой пары реализовалась интересная ситуация: в них скопилось очень много астероидов. Попадая в эту область относительной устойчивости, астероиды остаются там надол­го, на миллионы лет, а уходят оттуда очень медленно, поэтому их концентрация там весьма высока. Эти две группы астероидов постоянно сопровождают Юпитер на его орбите, доказывая, что Лагранж правильно сделал свои вычисления: одна группа (условно названная «Греки») движется на 60° впереди Юпитера, другая («Троянцы») — на 60° позади него, и в каждой по нескольку тысяч астероидов (рис. 3.28).

Рис. 3.28. Впереди и позади Юпитера по его орбите летят астероиды, накопившиеся в окрестности точек Лагранжа L₄ и L₅.

Гравитационная праща

Есть еще одна важная вещь, связанная с задачей трех тел: гравитационный маневр, который часто используют для доразгона космических аппаратов. Например, чтобы забросить зонд к дальним планетам — Нептуну, Урану, Плутону и дальше, — используют гравитационное притяжение встречающейся по пути планеты. В принципе идея та же, что и в обычной механике: если вы катнете маленький мячик навстречу катящемуся тяжелому, при отскоке скорость маленького увеличится — это следствие закона сохранения импульса. То же самое случается, когда планета летит вперед, а зонд, приближаясь к ней, облетает ее и при этом приобретает дополнительный импульс. Чтобы осознать причину этого, можно рассуждать так: находясь на этой планете, мы увидим, что зонд приближается к нам на большой относительной скорости (равной сумме скоростей планеты и зонда), потом он разворачивает свой вектор скорости и удаляется с таким же модулем относительной скорости. Но в неподвижной системе координат получается, что скорость планеты добавилась к нему два раза: сначала на встречном курсе, потом на уходящем.

Рис. 3.29. Космические аппа­раты «Вояджер». Рисунок: NASA.

Значит, при разумном планировании траектории можно увеличить скорость зонда в пределе на удвоенную орбитальную скорость планеты, хотя удается такое редко. Так, в 1977 г. запустили два космических аппарата, «Вояджер-1» и «Вояджер-2», — очень красивый был эксперимент. Оба зонда облетели Юпитер и Сатурн, получив от этих планет такие толчки (и, кстати, подходящие направления скорости), что и тот и другой вылетели из Солнечной системы. Ракета их так разогнать не могла, именно влияние Юпитера и Сатурна позволило одному сразу покинуть Солнечную систему, а другому по пути еще посетить Уран и Нептун (рис. 3.30). Вот такой грандиозный тур они совершили — а все благодаря точному расчету траектории полета. Кстати, первый зонд запустили без надежды на точный расчет, он посетил только Юпитер и Сатурн, но к Урану и Нептуну не попал. А со вторым уже стало ясно, что можно рискнуть, просто его надо было круче завернуть. Чтобы сильнее повернуть вектор скорости, надо пролететь ближе к планете (чем больше рискуешь, приближаясь на опасное расстояние к планете, тем больше прибавка в скорости при удачном гравитационном маневре). И чтобы она сильнее притягивала, куда, вы думаете, его запустили? Его направили в щель между внутренним кольцом Сатурна и поверхностью планеты. Тогда еще не знали, что это место тоже заполнено веществом, думали, что там пустота. А теперь мы понимаем, что риск был огромный: он там запросто мог обо что-нибудь стукнуться. Но зонду повезло, он беспрепятственно проскочил в эту щель, под действием планеты разогнался, сильно повернул — и дальше полетел куда надо.

Рис. 3.30. Траектории аппаратов «Вояджер-1» и «Вояджер-2» в Солнечной системе с отметками дат.

Траектория Луны

Обычно в учебниках говорится: Луна обращается вокруг Земли, а Земля — вокруг Солнца, поэтому траектория Луны вдоль орбиты Земли выглядит так — и рисуют циклоиду. Начинающий астроном именно так изобразил бы траекторию Луны, как она ходит вокруг Земли и наворачивает петельки (рис. 3.31, 3.32). Но на самом деле это неверно, и мы можем легко опровергнуть подобную картину, сделав простой расчет.

Рис. 3.31. На первый взгляд, так должна выглядеть траектория Луны, но это неправильно.

Для физиков не должно быть сомнений в том, что траектория любого тела всегда вогнута туда, куда его тянет равнодействующая (суммарный вектор) всех сил. Давайте проверим, что сильнее притягивает Луну — Земля или Солнце. Это очень просто: сравниваем две гравитационные силы, они равны отношению массы к квадрату расстояния (см. предыдущую лекцию). Луна примерно в 390 раз ближе к Земле, чем к Солнцу. А отношение масс Земли и Солнца — около 3  · 10^–6, т. е. Земля в 333 тыс. раз легче Солнца. Подставляем в формулу — и получаем, что сила притяжения Луны к Солнцу вдвое больше, чем к Земле. Факт не­ожиданный: ведь если Солнце притягивает сильнее, чем Земля, то Луна должна быть спутником Солнца, а не Земли, разве не так? Отчего же тогда она «бегает» вокруг нас, если Солн­це ее притягивает вдвое сильнее? С этим надо разобраться.

Рис. 3.32. Траектория Луны, как ее часто неверно изображают.

Рис. 3.33. Вомущающее вли­яние Солнца на орбитальное движение Луны. Луну сильнее притягивает Солн­це, чем Земля.

Если мы построим график движения Земли и Луны в реальном масштабе, то увидим, что знак кривизны траектории Луны никогда не меняется: кривая всегда вогнута внутрь, поскольку равнодействующая сила всегда направлена внутрь орбиты, т. е. в сторону Солнца. Почему же Луна не отрывается от Земли и не становится спутником Солнца? Да потому, что и Земля, и Луна притягиваются Солнцем почти одинаково, но чтобы оно было способно оторвать Луну от Земли, нужно, чтобы разница между ускорениями Земли и Луны к Солнцу была больше, чем ускорение Луны к Земле. Вот если бы радиус лунной орбиты был, скажем, всего лишь вчетверо меньше, чем радиус орбиты Земли, то Луна действительно выписывала бы «школьные» пируэты. А когда мы начинаем увеличивать размеры земной орбиты, удалять Солн­це, приближая отношение параметров к истинным, дело постепенно приходит к тому, что орбиты Луны и Земли становятся практически неразличимыми — обе они спутники Солнца. И лишь потому, что они находятся близко друг к другу, Земля не отпускает от себя Луну; обе эти планеты (Луна — тоже планета, точнее, планета-спутник) практически одинаково «падают» на Солнце, т. е. почти с одинаковым ускорением движутся относительно Солнца, а разница этих ускорений так мала, что Земля способна контролировать положение Луны рядом с собой: