Рис. 3.18. Движение трех тел одинаковой массы по единой «хореографической» орбите (слева). Но это движение неустойчиво, что демонстрирует результат численного расчета (справа).

Вообще-то можно найти конфигурации из трех тел, эволюцию которых можно предсказать: например, создать искусственно троицу, которая совершает периодическое движение (рис. 3.17, 3.18). И тогда посмотрел на один период — и потом копируй его на бесконечное количество последующих периодов. Недавно придумали очень изящ­ную конфигурацию из трех тел одинаковой массы, которые будут летать друг за другом по «восьмерке» (рис. 3.18). Формально во всех этих случаях тела будут бесконечно долго повторять свой циклический путь, но движение это очень неустойчиво: стоит чуть-чуть, на мизерную величину, его нарушить — и система начнет разбалтываться и придет к хаотическому состянию. Даже ошибки компьютерного счета приводят к тому, что траектории начинают расходиться и через несколько периодов обращения система рассыпается. А устойчивого периодического движения тел, количество которых больше двух, не бывает.

Рис. 3.19. Периодическое движение тел количеством больше двух (Alain Chenciner, 2007). Движение системы трех и более тел сравнимой массы в собственном гравитационном поле всегда неус­тойчиво: малейшее возмущение приводит к неограниченному разбалтыванию системы.

В общем случае реализуется такая ситуация: берем три массивных тела и отпускаем навстречу друг другу. Сближаясь, они, естественно, сильнее притягиваются друг к другу и в небольшой окрестности бурно взаимодействуют. В большинстве случаев при этом два тела объединяются в двойную систему и начинают летать по стабильным эллиптическим орбитам бесконечно долго, а третье тело уносит избыток энергии: два тела связались, а потенциальная энергия связи перешла в виде кинетической к третьему телу, которое, как из пушки, вылетает из системы (рис. 3.20). Это обычный результат гравитационного взаимодействия трех тел.

Рис. 3.20 Если встречаются вместе три тела, то лишь два из них могут об­разовать устойчивую систему, передав энергию своей связи третьему.

Хотя все системы из трех тел рано или поздно распадаются, время их жизни очень сильно зависит от начальной конфигурации. Например, если два тела образуют тесную двойную систему, а третье обращается на большом расстоянии от них, то оно «воспринимает» двойную систему практически как точечную массу и движется весьма устойчиво почти по кеплеровской орбите. В свою очередь, на движение тел в тесной двойной системе наличие далекого третьего тела почти не влияет. Тройные и более сложные системы такого типа называют иерархическими, в отличие от хаотических систем, в которых расстояния между всеми компонентами одного порядка. При сравнимой массе тел переход к иерархическому строению происходит, когда характерное расстояние между компонентами соседних уровней различается в 5÷10 раз. Пример четырехкратной иерархической системы дает Эпсилон Лиры, в которой четыре звезды объединены в две тесные системы, обращающиеся вокруг общего центра масс.

Рис. 3.21. Тройные системы: хаотическая и иерархическая (условно устойчивая).

Рис. 3.22. Иерархические четырехкратные системы разной степени устойчивости.

Почему задача трех тел очень важна? Это задача жизненная: с Земли продолжают запускать космические аппараты на Луну (например, фотографировать обратную сторону Луны), и надо рассчитывать траекторию полета такого космического аппарата. Решают ее только численно, на компьютерах, шаг за шагом. Правда, очень часто можно сделать упрощающие предположения. Например, разум­но предположить, что среди этих трех тел только два массивные, а третье по сравнению с ними невесомое, т. е. они его притягивают, а оно на них не влияет. Второе упрощение: пусть все они движутся в одной плоскости, то есть легкое тело летает в орбитальной плоскости первых двух. Третье упрощение: пусть массивные тела относительно своего центра массы движутся по круговым орбитам. И вот когда мы принимаем во внимание все эти упрощения, получается задача, которую уже можно решать аналитически; она называется ограниченной круговой задачей трех тел. Тогда можно перейти в систему координат, связанную с вращением двух массивных тел, чтобы они в этой системе оставались на месте, а вся остальная Вселенная крутилась вокруг них.

Рис. 3.23. В задачи космического аппарата «Луна-3» входило фотографирование Луны с орбиты и последующая передача фотоснимков на Землю.

Но если вращается система координат, то в ней появляются центробежная и кориолисова силы, их надо ввести в эту систему соответствующими слагаемыми в уравнениях. И оказывается, что в такой системе есть 5 точек, где третье — легкое — тело может оставаться неподвижным относительно двух массивных (это означает, что в обычной системе координат оно будет обращаться вокруг центра масс синхронно с ними). Три из этих точек — на соединяющей массивные тела линии — обнаружил еще Эйлер, а две другие — при вершинах равносторонних треугольников — Лагранж, но все их называют точками Лагранжа и обозначают буквой L (рис. 3.24).

Рис. 3.24. Пять точек Лагранжа в системе «Земля—Луна».

Если нанести на плоскость линии равного потенциала (гравитационного плюс центробежного), то на такой картине мы сразу увидим области контроля гравитации одного и другого тела, область их совместного «контроля», а также области всех пяти точек Лагранжа. Лучше смотреть на это в объемном эскизе: для этого надо построить эквипотенциальную поверхность, в которой будет две гравитационные ямы, вокруг которых центробежный потенциал дает скат по всем направлениям, потому что если вы отдалились от массивных тел, то центробежная сила выкинет вас из этой системы. Точки Лагранжа — это точки равновесия, но оно не всегда устойчиво. В линейных точках L₁, L₂ и L₃ оно вообще неустойчиво: чуть отклонился — и уже не вернешься. А в окрестности треугольных точек L₄ и L₅ слабая устойчивость есть лишь при большом отношении масс двух главных объектов — не менее 25 : 1.

Рис. 3.25. Направления действующих сил в окрестности точек Лагранжа системы Солн­це—Земля. Во второй точке Эйлера—Лагранжа космический аппарат постоянно виден с ночного полушария Земли.

Тем не менее в природе, да и в технике тоже, все пять точек Лагранжа довольно часто играют большую роль. Луна движется внутри области гравитационного контроля Земли, но не очень далеко от пограничной линии (рис. 3.26), так что устойчивость Луны не слишком велика, она не очень сильно привязана к Земле. С другой стороны, космические аппараты часто запускают в разные точки Лагранжа, потому что там очень удобно «подвесить» аппарат. Так, в точке L₁ он будет всегда смотреть на Солн­це, а антенна для связи с Землей при этом постоянно будет направлена на Землю, в точке L₄ он одновременно будет видеть и Солнце, и Землю с Луной и в то же время находиться подальше от них, т. е. разные точки играют разную роль. Точка L₃ — единственная, которая пока не используется, хотя она очень интересна: если туда поместить спутник, то он будет наблюдать ту полусферу Солнца, которую с Земли не видно. Но как с ним связываться? Радиосигнал сквозь Солнце не проходит, поэтому надо будет запускать еще и отдельный ретранслятор.