Фактически, именно байесовский анализ лежит в основе большинства иллюстраций, приведенных мною в главе 9, в том числе таблицы для определения 90-процентного CI без математических расчетов. Например, составляя рисунок 9.2, изображающий 90-процентный CI для доли в генеральной совокупности при малой выборке, я сначала предположил, что, если нет иных данных, внутри подгруппы значения этого CI распределены от 0 до 100 % равномерно. Рассчитывая вероятность нахождения медианы по ту или иную сторону порогового значения (см. рис. 9.4), я начинал с исходного соображения: существует вероятность 50 %, что истинная медиана генеральной совокупности лежит по одну из сторон от порога. И в том, и в другом случаях я исходил из максимальной неопределенности.

Теорема Байеса гласит, что вероятность наступления «события» при условии проведения «наблюдения» равна произведению вероятности наступления события и вероятности проведения наблюдения при условии наступления события, деленному на безусловную вероятность проведения наблюдения (см. рис. 10.1).

Предположим, решается вопрос о выпуске нового продукта. Согласно данным за прошедшие периоды, новые продукты приносили прибыль в первый год только в 30 % случаев. Математик записал бы это утверждение следующим образом: P(FYP^[29]) = 30 %, то есть вероятность получения прибыли в первый год выпуска продукта составляет 30 %. Нередко до старта массового производства осуществляется тестирование сбыта. Для всех случаев, когда новый продукт дал прибыль уже в первый год реализации, пробные продажи были удачными (под удачными продажами мы подразумеваем достижение определенного порогового объема реализации) только на 80 %. Математик записал бы это следующим образом: P(S|FYP) = 80 %, то есть «условная» вероятность успеха тестирования сбыта (S, successful — успешный) при условии, что производство продукта оказалось прибыльным уже в первый год (черта «|» означает «при условии»), равна 80 %.

Однако значение вероятности успеха пробных продаж при условии, что производство данного продукта принесло прибыль в первый же год, — вовсе не тот показатель, который нас интересует. Что мы в действительности хотели бы знать, так это вероятность получения прибыли в первый же год при условии, что тестирование сбыта окажется удачным. Таким способом рынок подскажет нам, стоит ли запускать серийное производство продукта. Данный вопрос и позволяет выяснить теорема Байеса. Перепишем уравнение теоремы Байеса, подставив в него следующие обозначения интересующих нас функций:

• P(FYP|S) — вероятность получения прибыли в первый же год при условии удачного тестирования сбыта, иными словами, вероятность наступления события FYP при условии S;

• P(FYP) — «безусловная» вероятность получения прибыли в первый же год;

• P(S) — «безусловная» вероятность удачного тестирования сбыта;

• P(S|FYP) — вероятность удачного тестирования сбыта при условии получения прибыли в первый же год.

Допустим, что пробные продажи были удачны в 40 % случаев. Чтобы рассчитать вероятность получения прибыли от продукта в первый же год при условии удачного тестирования сбыта, перепишем приведенное выше уравнение следующим образом:

P(FYP|S) = P(FYP) × P(S|FYP)/ P(S) = 30 % × 80 %/40 % = 60 %.

Если пробный рынок показал успех, то вероятность получения прибыли в первый же год составляет 60 %. Заменив два числа в уравнении, мы можем рассчитать и вероятность получения прибыли в первый же год в случае неудачных пробных продаж. Как было показано, вероятность успеха тестирования реализации прибыльного продукта 80 %. Поэтому вероятность провала пробных продаж равна 20 %. Это можно записать следующим образом: P(~S|FYP) = 20 %. Аналогично, если вероятность удачных пробных продаж всех продуктов 40 %, то общая вероятность неудачи, или P(~S), равна 60 %. Заменив в нашем уравнении P(S|FYP) и P(S) на P(~S|FYP) и P(~S), получим:

P(FYP|~S) = P(FYP) × P(~S|FYP) / P(~S) = 30 % × 20 %/60 % = 10 %.

Таким образом, провальный результат тестирования рынка дает вероятность получения прибыли в первый же год в размере всего 10 %.

Иногда, не зная вероятности получения некоего результата, мы можем оценить вероятности других событий и затем рассчитать на их основе нужный показатель. Предположим, что данных о коэффициенте успеха тестирования рынка в прошедшие периоды у нас нет, так как это первые пробные продажи. Мы можем рассчитать данную величину на основе других. Калиброванный эксперт уже оценил P(S|FYP) — вероятность успешных пробных продаж продукта, который принесет прибыль в первый же год: P(S|FYP) = 80 %. Допустим теперь, что эксперт оценил и вероятность удачных пробных продаж продукта, выпуск которого окажется в итоге убыточным (классическим примером может служить «New Coke»): P(S|~FYP) = 23 %. Как и ранее, мы знаем, что вероятность прибыли от продукта в первый же год P(FYP) составляет 30 %, значит, вероятность того, что это не случится, P(~FYP) будет равна 70 % — [1 — P(FYP)]. Если мы суммируем произведения каждой условной вероятности на вероятность выполнения данного условия, то получим общую вероятность наступления данного события. Тогда:

P(S) = P(S|FYP) × P(FYP) + P(S|~FYP) × P(~FYP) = 80 % × 30 % + 23 % × 70 % = 40 %.

Этот этап может оказаться очень полезным, потому что в некоторых случаях расчет вероятности получения определенных результатов при определенных условиях прост и очевиден. Составить большинство иллюстраций из приведенных в главе 9 мне помогли такие вопросы, как: «Если к данной группе действительно относятся только 10 % всех объектов генеральной совокупности, то какова вероятность того, что из 12 случайно выбранных человек пятеро будут принадлежать к этой группе?» или: «Если медиана затрат времени на анализ жалоб потребителей составляет более часа, то какова вероятность того, что временные затраты 10 из 20 случайно выбранных человек окажутся менее часа?»

В каждом из этих примеров мы можем рассчитать вероятность наступления события А при условии наступления события В, если знаем эти вероятности и вероятность наступления события В при условии наступления события А. Данный математический прием называется байесовской инверсией, и те, кто начинает использовать его в одной области, быстро обнаруживают применимость инверсии и во многих других сферах. Особенно полезной байесовскую инверсию находят те, кто рассматривает проблемы измерения так же, как в свое время это делали Эмили, Энрико и Эратосфен. Более специальные вопросы, связанные с инверсией, мы рассмотрим позднее, а пока попытаемся объяснить ее на интуитивном уровне. Ведь, возможно, и вы, сами того не осознавая, уже применяли этот прием. Вполне вероятно, что вы обладаете врожденным байесовским инстинктом.

Используйте свой природный байесовский инстинкт

Проблему иного качественного знания о выборочной совокупности, которым вы обладаете, не решают даже некоторые передовые методы статистики. В описанном ранее примере с рекламной кампанией вы могли бы проработать с людьми отдела сбыта весьма продолжительное время и узнать (и это знание было бы качественным), что Боб обычно оценивает ситуацию слишком оптимистично, Мануэль всегда все взвешивает, а Моника любит осторожничать. И, конечно, вы по-разному отнеслись бы к мнениям того сотрудника, которого знаете очень хорошо, и новичка. Как статистика учитывает эти знания? Если отвечать односложно, то она их вообще не учитывает, во всяком случае, тот ее вводный курс, который изучают тысячи людей.

К счастью, существует способ справиться с этой проблемой, причем намного более простой, чем любой раздел статистики за первый семестр. Назовем его инстинктивным байесовским подходом, суть которого заключается в следующем: