2.      Предел линейной функции:

lim𝑥→𝑎(𝑚𝑥+𝑏)=𝑚𝑎+𝑏

где ( m ) и ( b ) – коэффициенты линейной функции.

3.      Предел степенной функции:

lim𝑥→𝑎𝑥𝑛=𝑎𝑛

для любого целого ( n \geq 0 ).

4.      Предел рациональной функции:

lim𝑥→𝑎𝑃(𝑥)𝑄(𝑥)=𝑃(𝑎)𝑄(𝑎)

при условии, что знаменатель ( Q(a) \neq 0 ).

5.      Предел экспоненциальной функции:

lim𝑥→𝑎𝑒𝑥=𝑒𝑎

6.      Предел логарифмической функции:

для lim𝑥→𝑎ln⁡(𝑥)=ln⁡(𝑎),для 𝑎>0

7.      Предел синуса и косинуса:

lim𝑥→0sin⁡(𝑥)𝑥=1lim𝑥→0tan⁡(𝑥)𝑥=1lim𝑥→01−cos⁡(𝑥)𝑥2=12.

Эти замечательные пределы являются основой для более сложных вычислений и асимптотического анализа функций в математическом анализе.

В настоящем разделе в качестве замечательных пределов выбраны пять. Они были особенно популярны при решении математических задач и примеров в ходе занятий по высшей математике со студентами СПбГУКИ.

I. lim (n -> r бесконечности)(1 +1/n)^n = e, или lim (x -> r бесконечности) (1 +1/x)^x = e, или или lim (у -> 0) (1 +y)^(1/y) = e.

II. lim (x -> 0) sinx/x = 1.

III. lim (x -> 0) ln(1 +x)/x = 1.

IV. lim (x -> 0) (a^x – 1)/x = lna или, при a = e, lim (x -> 0) (e^x – 1)/x =1.

V. lim (x -> 0) ((1+x)^k – 1/x)/x = k, где k – любое вещественное число.

Кроме того, в этом разделе помещен справочный материал, без которого даже стоять на пороге математического анализа просто не рекомендуется.

Алгебра.

1. Формулы сокращенного умножения и разложения на множители:

(a + b)^2 = a^2 +2ab +b^2

(a – b)^2 = a^2 – 2ab +b^2

(a + b)^3 = a^3 +3a^2b +3ab^2 +b^3

(a – b)^3 = a^3 – 3a^2b +3ab^2 – b^3

a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 – ab +b^2)

a^3 – b^3 = (a – b)(a^2 – ab +b^2)

ax^2 + bx + c =a(x – x1)(x – x2), где x1 и x2 – корни уравнения ax^2 + bx + c.

2. Степени и корни.

Для любых натуральных p и q;

(a^p)*(a^q) = a^(p+q); a^p/a^q = a^(p – q) a =/ 0;

(a^p)^q = a^(pq); a^p/b^p = (a/b)^p b =/ 0;

(a^p)*(a^p) = (ab)^p; a^0 = 1 a =/ 0;

a^(– p) = 1/a^p a =/ 0; a^(1/p) = корень степени р от a;

(a^p)^(1/q) = a^(p/q); [a^(1/q)]^(1/p) = a^(1/pq);

(ab)^1/p = (a^1/p)* (b^1/p); (a/b)^1/p = (a^1/p)/(b^1/p) b =/ 0.

3. Квадратные уравнения.

ax^2 + bx + c, a =/ 0, где x1 и x2 – корни этого уравнения, могут быть определены с помощью:

x1, 2 = (– b + – D^1/2)/2a, где D = b^2- 4ac;

если D > 0, то x1=/x2;

если D = 0, то x1=x2;

если D < 0, то корней нет.

Теорема Виета:

x1+ x2 = – b/a; x1*x2 = c/a

Приведенное квадратное уравнение:

x^2 + px + q = 0

x1+ x2 = – p; x1*x2 = q

Если p =2k (p – четное), то x1, 2 = – k +– (k*2 – q)^1/2

4. Логарифмы.

Если log a от (x) =b, то a^b = x (a>0, a =/ 1,x>0);

a^(log a от (x)) = x; log a от (a) = 1; log a от (1) = 0;

log a от (b) =1/ log b от (a);

log a от (x*y) = log a от (x) + log a от (y);

log a от (x/y) = log a от (x) – log a от (y);

log a от (x^k) = klog a от (x);

log a^k от (x) =(1/k) log a от (x)

Замена основания:

log a от (x) = log c от (x)/ log c от (a) , c > 0 и c=/1

5. Прогрессии.

Арифметическая

a(от n членов прогрессии) = a(n – 1) +d; 2a(n) = a(n – 1)+ a(n – 2); a(n) = a1 +d(n – 1);

Cумма n членов арифметической прогрессии:

S(n) = n/2*(a1 + an)

Геометрическая

b(n) (n – 1)*q, q=/1; b(n) = b1*q^(n – 1);

[b(n)]^2 = b(n – 1)* b(n + 1)

Cумма n членов геометрической прогрессии:

S(n) = b1*(1 – q^n)/(1 – q)

Cумма членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии:

S = b1/(1 – q)

6.Тригонометрия.

Основные тригонометрические тождества:

(sin B)^2 + (cos B)^2 = 1

tg B = sin B/ cos B; ctg B = cos B/ sin B;

sec B =1/ cos B; cosec B =1/ sin B;

tg B*ctg B = 1; 1 + (tg B)^2 = 1/(cos B)^2;

1 + (ctg B)^2 = 1/(sin B)^2

Формулы сложения и вычитания аргументов тригонометрических функций:

sin(B + Z) = sinB*cosZ + sinZ*cosB

sin(B – Z) = sinB*cosZ – sinZ*cosB

cos(B + Z) = cosB*cosZ – sinZ*sinB

cos(B – Z) = cosB*cosZ + sinZ*sinB

tg(B + Z) = (tgB + tgZ)/(1 – tgB*tgZ)

tg(B – Z) = (tgB – tgZ)/(1 + tgB*tgZ)

Четность и нечетность тригонометрических функций:

sin(– B ) = – sinB; cos(– B) = cosB; tg(– B) = – tgB;

ctg(– B) = – ctgB; sec (– B) = secB; cosec(– B) = – cosecB

Формулы двойного аргумента:

sin2B = 2sinB cosB;

cos2B = (cosB)^2 – (sinB)^2 = 2(cosB)^2 – 1 =1 – 2(sinB)^2

(sinB)^2 = (1 – cos2B)/2

(cosB)^2 = (1 + cos2B)/2

tg2B = 2tgB/[1 – (tgB)^2]

Формулы половинного аргумента:

[sin(B/2)]^2 = (1 – cosB)/2; [cos(B/2)]^2 =(1 + cosB)/2;

[tg(B/2)]^2 =(1 – cosB)/(1 + cosB); [ctg(B/2)]^2 = (1 + cosB)/(1 – cosB);

Формулы преобразования произведения тригонометрических функций в сумму:

sinB*cosZ = [sin(B +Z) + sin(B -Z)]/2;

cosB*cosZ = [cos(B +Z) + cos(B -Z)]/2;

sinB*sinZ = [cos(B – Z) – cos(B -Z)]/2;

Формулы преобразования суммы тригонометрических функций в произведение:

sinB + sinZ = 2 sin[(B +Z)/2]*cos[(B – Z)/2];

sinB – sinZ = 2 sin[(B – Z)/2]* cos[(B – Z)/2];

cosB + cosZ = 2 cos[(B +Z)/2]*cos[(B – Z)/2];

cosB – cosZ = – 2 sin[(B +Z)/2]*sin[(B – Z)/2];

tgB + tg Z = sin(B +Z)/ (cosB*cosZ);

tgB – tg Z = sin(B – Z)/ (cosB*cosZ);

ctgB + ctg Z = sin(B +Z)/ (sinB*sinZ);

ctgB – ctg Z = sin(Z – B)/ (sinB*sinZ);

Формулы, выражающие тригонометрические функции через тангенс половинного угла:

sinB = 2 tg(B/2)/{1 +[tg(B/2)]^2}; cosB ={1 – [tg(B/2)]^2}/{1 +[tg(B/2)]^2};

tgB = 2 tg(B/2)/{1 – [tg(B/2)]^2}; ctgB = {1 – [tg(B/2)]^2}/2tg(B/2)

Основные понятия и определения

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1

Производной данной функции y = f (x) при данном значении аргумента х0 называется предел отношения приращения функции ∆ у к приращению аргумента ∆x, когда ∆x произвольным образом стремится к нулю.

Если такого предела не существует, то данная функция в точке х0 производной не имеет. В том случае, когда предел равен + или – бесконечности, говорят, что существует бесконечная производная.

Если функция у = f (х) имеет конечную производную в точке x₀ , то говорят, что она дифференцируема в точке x₀.

Нахождение производной такой функции называется дифференцированием.

Примеры:

Движение автомобиля, поезда, человека и т.д.

Но можно говорить и о других смыслах: например,экономическом:

Скорость падения акций на рынке ценных бумаг, изменение курса валют, падение покупательского спроса на определенные виды товаров, изменение инфляции, зарплаты и т.д.

Правила дифференцирования

Правило 1

Если функции U и V дифференцируемы в точке x₀, то их сумма также дифференцируема в точке x₀, при чем производная суммы равна сумме производных, т.е. (U + V)' = U' + V'.

Правило 2

Если функции U и V дифференцируемы в точке x₀, то их произведение также дифференцируемо в точке x₀, при чем (U x V)' = U'V + UV'.