Вычислим предел:
[ \lim_{{x \to -1}} (4x + 2x^3 + 3) ]
Подставляем ( x = -1 ):
[ f(-1) = 4(-1) + 2(-1)^3 + 3 ]
[ f(-1) = -4 – 2 + 3 ]
[ f(-1) = -3 ]
Таким образом, предел функции ( f(x) = 4x + 2x^3 + 3 ) при ( x ) стремящемся к ( -1 ) равен ( \boxed{-3} ).
Ответ: – 3.
8. Найти предел функции f(x) = (x^2 – 3x +2)/(x^2 + 2x – 3) при x стремящемся к 1.
GPTutor
Чтобы найти предел функции ( f(x) = \frac{x^2 – 3x + 2}{x^2 + 2x – 3} ) при ( x ) стремящемся к ( 1 ), мы можем подставить ( x = 1 ) напрямую в выражение функции:
[ f(1) = \frac{1^2 – 3 \cdot 1 + 2}{1^2 + 2 \cdot 1 – 3} ]
[ f(1) = \frac{1 – 3 + 2}{1 + 2 – 3} ]
[ f(1) = \frac{0}{0} ]
Заметим, что получили неопределённость вида ( \frac{0}{0} ). Для решения этой неопределённости, мы можем применить метод деления числителя и знаменателя на ( (x – 1) ), так как ( x – 1 ) является фактором и числителя, и знаменателя:
[ f(x) = \frac{x^2 – 3x + 2}{x^2 + 2x – 3} ]
Делим числитель и знаменатель на ( (x – 1) ):
[ f(x) = \frac{(x – 1)(x – 2)}{(x – 1)(x + 3)} ]
При ( x \neq 1 ), ( x – 1 ) можно сократить:
[ f(x) = \frac{x – 2}{x + 3} ]
Теперь вычисляем предел ( f(x) ) при ( x \to 1 ):
[ \lim_{{x \to 1}} \frac{x – 2}{x + 3} = \frac{1 – 2}{1 + 3} = \frac{-1}{4} ]
Итак, предел функции ( f(x) = \frac{x^2 – 3x + 2}{x^2 + 2x – 3} ) при ( x ) стремящемся к ( 1 ) равен ( \boxed{-\frac{1}{4}} ).Ответ: 1/4.
Другой вариант решения (с помошью ChatGPT):
Для нахождения предела данной функции при x стремящемся к 1, подставим значение x = 1 в функцию:
f(1) = (1^2 – 31 + 2)/(1^2 + 21 – 3) = (1 – 3 + 2)/(1 + 2 – 3) = 0/0
Получили неопределенность вида 0/0. Для определения предела в этом случае, проведем кратное деление многочленов:
(x^2 – 3x + 2) / (x^2 + 2x – 3) = (x-1)(x-2) / (x+3)(x-1) = (x-2) / (x+3)
Теперь можно подставить x=1:
f(x) = (1-2) / (1+3) = -1 / 4
Ответ: Предел функции f(x) при x стремящемся к 1 равен 1/4.
9. Найти предел функции f(x) = ((1 + 3x)^(1/2) – (2x + 6)^(1/2))/(x^2 – 5x) при x стремящемся к 5.
GPTutor
Чтобы найти предел функции ( f(x) = \frac{\sqrt{1 + 3x} – \sqrt{2x + 6}}{x^2 – 5x} ) при ( x ) стремящемся к ( 5 ), мы начнём с проверки, не возникает ли неопределённости. Подставим ( x = 5 ):
Проверим знаменатель:
[ x^2 – 5x = 5^2 – 5 \cdot 5 = 25 – 25 = 0 ]
Знаменатель равен нулю, что означает, что есть неопределённость вида ( \frac{0}{0} ). Для разрешения этой неопределённости применим разложение в ряд Тейлора в окрестности точки ( x = 5 ).
Разложим каждый квадратный корень в ряд Тейлора:
[ \sqrt{1 + 3x} \approx \sqrt{16} = 4 + \frac{3(x – 5)}{4} ]
[ \sqrt{2x + 6} \approx \sqrt{16} = 4 + \frac{x – 5}{4} ]
Теперь подставим разложения в функцию ( f(x) ):
[ f(x) = \frac{\left( 4 + \frac{3(x – 5)}{4} \right) – \left( 4 + \frac{x – 5}{4} \right)}{x^2 – 5x} ]
[ f(x) = \frac{\frac{3(x – 5)}{4} – \frac{x – 5}{4}}{x^2 – 5x} ]
[ f(x) = \frac{\frac{2(x – 5)}{4}}{x^2 – 5x} ]
[ f(x) = \frac{\frac{1}{2}(x – 5)}{x(x – 5)} ]
[ f(x) = \frac{1}{2x} ]
Теперь вычисляем предел ( f(x) ) при ( x \to 5 ):
[ \lim_{{x \to 5}} \frac{1}{2x} = \frac{1}{2 \cdot 5} = \frac{1}{10} ]
Итак, предел функции ( f(x) = \frac{\sqrt{1 + 3x} – \sqrt{2x + 6}}{x^2 – 5x} ) при ( x ) стремящемся к ( 5 ) равен ( \boxed{\frac{1}{10}} ).Ответ: 1/10.
10. Найти предел функции f(x) = (7^x – 3^x)/x при x стремящемся к 0.
GPTutor
Чтобы найти предел функции ( f(x) = \frac{7^x – 3^x}{x} ) при ( x ) стремящемся к ( 0 ), мы можем использовать формулу для предела функции, в которой в знаменателе стоит ( x ).
Прежде чем вычислять, заметим, что подстановка ( x = 0 ) напрямую в функцию даст неопределённость ( \frac{0}{0} ), поэтому используем разложение в ряд Тейлора для функций ( 7^x ) и ( 3^x ) в окрестности точки ( x = 0 ):
[ 7^x \approx 1 + \ln(7) \cdot x ]
[ 3^x \approx 1 + \ln(3) \cdot x ]
Теперь выразим ( f(x) ) с использованием этих разложений:
[ f(x) = \frac{7^x – 3^x}{x} \approx \frac{(1 + \ln(7)x) – (1 + \ln(3)x)}{x} ]
[ f(x) = \frac{\ln(7)x – \ln(3)x}{x} ]
[ f(x) = \ln(7) – \ln(3) ]
Таким образом, предел функции ( f(x) = \frac{7^x – 3^x}{x} ) при ( x ) стремящемся к ( 0 ) равен ( \boxed{\ln\left(\frac{7}{3}\right)} ).Ответ:ln7 – ln3.
Более детальные комментарии к данным решениям, на мой взгляд, не нужны.
Попробуйте самостоятельно найти пределы следующих функции:
1) f(n) = (1 – 2n)/(3n – 2) при n стремящейся к бесконечности. Правильный ответ: – 2/3.
2) f(n) = (n^2 + 1)/(3n – 2) при n стремящейся к бесконечности. Правильный ответ:1.
3) f(x) = 2x/(x^2 – 4) – 1/(x – 2) при x стремящейся к 2. Правильный ответ:1/4.
Решение будет приведено в следующей главе.
Глава 2
Выполнение заданий из главы 1.
1) f(n) = (1 – 2n)/(3n – 2) при n стремящейся к бесконечности. Правильный ответ: – 2/3.
2) f(n) = (n^2 + 1)/(3n – 2) при n стремящейся к бесконечности. Правильный ответ:1.
3) f(x) = 2x/(x^2 – 4) – 1/(x – 2) при x стремящейся к 2. Правильный ответ:1/4.
Посмотрим, как с ними справится нейросеть GPTutor
1)f(n) = (1 – 2n)/(3n – 2) при n стремящейся к бесконечности.
GPTutor
Функция ( f(n) = \frac{1 – 2n}{3n – 2} ) при ( n ) стремящемся к бесконечности можно проанализировать с помощью предела:
[ \lim_{{n \to \infty}} f(n) = \lim_{{n \to \infty}} \frac{1 – 2n}{3n – 2} ]
Чтобы найти предел этой функции при ( n ) стремящемся к бесконечности, можно использовать правило Лопиталя (если оно применимо), либо анализировать асимптотическое поведение числителя и знаменателя.
Давайте разберемся:
Числитель функции ( 1 – 2n ) при больших значениях ( n ) будет уменьшаться до отрицательного бесконечно малого, так как коэффициент при ( n ) больше знаменателя ( 3n – 2 ), который будет расти до положительного бесконечно малого, что говорит о
Автор
А где решение?
GPTutor
Извините за недоразумение! Давайте найдем предел функции ( f(n) = \frac{1 – 2n}{3n – 2} ) при ( n \to \infty ).
Как я упоминал ранее, числитель ( 1 – 2n ) будет уменьшаться до отрицательного бесконечно малого, а знаменатель ( 3n – 2 ) будет расти до положительного бесконечно большого при увеличении ( n ).
Чтобы найти предел, разделим числитель и знаменатель на ( n ):
[ f(n) = \frac{1 – 2n}{3n – 2} = \frac{\frac{1}{n} – 2}{3 – \frac{2}{n}} ]
Теперь рассмотрим предел при ( n \to \infty ):
[ \lim_{{n \to \infty}} f(n) = \lim_{{n \to \infty}} \frac{\frac{1}{n} – 2}{3 – \frac{2}{n}} ]
Здесь можно заметить, что ( \frac{1}{n} \to 0 ) и ( \frac{2}{n} \to 0 ) при ( n \to \infty ).
Тогда предел выражения равен:
[ \lim_{{n \to \infty}} f(n) = \frac{0 – 2}{3 – 0} = \frac{-2}{3} = -\frac{2}{3} ]
Таким образом, предел функции ( f(n) ) при ( n \to \infty ) равен ( -\frac{2}{3} ).
Ответ: – 2/3.
Если у вас есть ещё вопросы или нужно что-то ещё разъяснить, пожалуйста, скажите!
