Автор: Александр Поддьяков

В известной игре "камень, ножницы, бумага" камень тупит ножницы, те режут бумагу, а она, в свою очередь, побеждает камень, обертывая его собой. Так в упрощенной и наглядной форме воспроизводятся фундаментальные закономерности физических, социальных и информационных взаимодействий, выходящие далеко за рамки детских соревнований-"угадаек".

Специалисты по интеллектуальным играм сталкиваются с такой ситуацией нередко: в борьбе компьютерных программ, участвующих в соревнованиях по шахматам, нардам и т. п., программа А может регулярно выигрывать у программы В, та - у С, а программа С, вроде бы самая слабая в этой тройке, может систематически выигрывать у А [Мельников Б., Радионов А. Программирование недетерминированных игр // Гордон А. Г. Диалоги. М.:Предлог, 2005. С. 93–112.Мосеев А. В. Применение методов искусственного интеллекта в переборных алгоритмах . Дипломная работа.Ульяновск: УГУ, 1999. Финоженок Д. GridWars II: битва за процессоры // Компьютерра, 2003, #28 (503).]. Если бы речь шла о спортсменах (а в спорте подобные ситуации тоже не редкость), "парадокс" мог бы объясняться психологическими или физиологическими причинами (например, большая спортивная злость членов одной команды, большее физическое утомление и демотивированность кого-то из спортсменов и т. д.). Но похоже, что нетранзитивность (непереходность) превосходства, когда одно превосходит другое, другое - третье, а третье, в свою очередь, почему-то превосходит первое, - это отнюдь не менее важное свойство мира, чем кажущаяся более логичной его же, превосходства, транзитивность [Объясняя понятие непереходности превосходства по-житейски, можно сказать, что превосходство А над В и затем В над С не переходит, не распространяется и на пару А-С: А не превосходит С.]. Кстати, транзитивность превосходства мы тоже начинаем осваивать с детства - вспомним детские задачки вроде "Петя выше Толи, Толя выше Бори.

Кто из них выше всех?".

Несмотря на простоту такого рода примеров ("Петя, Толя, Боря", с одной стороны, и "камень, ножницы, бумага" - с другой), транзитивность и нетранзитивность превосходства вызывают дискуссии самых разных специалистов, ведущиеся на самых разных уровнях.

Причем часть из этих специалистов убеждена в том, что на самом деле, если глубоко разобраться и тонко учесть все факторы ("taking all considered"), нетранзитивность превосходства окажется иллюзией, следствием ошибочных рассуждений и неправильно интерпретированных наблюдений. Другие, напротив, считают, что как раз транзитивность превосходства - это всего лишь результат выдергивания и искусственной изоляции короткой цепочки превосходств из более общего цикла взаимодействий, в котором они реально существуют. Причем и те и другие рассуждают достаточно строго, и их не упрекнешь в очевидных логических ошибках - например, в попытках поставить и решить задачу типа "Петя выше Толи, Толя толще Бори. Кто из них директор?".

Не стану скрывать своих пристрастий - ситуации нетранзитивности превосходства мне представляются более увлекательными. О них и расскажу, выбрав самые, на мой взгляд, интересные.

Брэдли Эфрон (Bradley Efron), специалист по статистике из Стэнфордского университета, предложил комплекты игральных костей, обладающих парадоксальными свойствами [Секей Г. Парадоксы в теории вероятностей и математической статистике. М.:Мир, 1990.].

(Психолог В. А. Петровский удачно назвал эти комплекты "бойцовским клубом игральных кубиков".) Все кубики любого такого набора одинаковы и "честны" в отношении своей геометрической формы, веса и т. д.

Единственная разница между ними - в числах, нанесенных на их грани. Числа подобраны так, что на верхней грани первого кубика при бросках чаще выпадает большее число, чем на втором; на втором чаще выпадает большее число, чем на третьем, и т. д., но последний кубик чаще показывает большее число, чем первый (!). Благодаря этому первый систематически выигрывает у второго, второй - у третьего и т. д., но последний кубик - казалось бы, аутсайдер! - систематически выигрывает у первого - казалось бы, безусловного фаворита.

Кто не верит в этот факт нетранзитивности превосходства "чаще показывать большее число" (сразу поверить трудно), может поэкспериментировать в Интернете на странице edp.org/dice.htm с симуляцией соревнований или самостоятельно решить приведенную ниже задачку [Roberts T. S. A ham san d - wich is better than no thing: Some thoughts about transitivity // Australian Senior Ma thematics Journal. 2004.18 (2). P. 60–64].

Есть четыре игральных кубика со следующими числами на гранях.

Кубик A: 7, 7, 7, 7, 1, 1

Кубик B: 6, 6, 5, 5, 4, 4

Кубик C: 9, 9, 3, 3, 3, 3

Кубик D: 8, 8, 8, 2, 2, 2

Каково соотношение побед и поражений в парах A-B, B-C, C-D и D-A?

(Ответ: каждый предшествующий кубик в среднем выигрывает у последующего вдвое больше партий, чем проигрывает. Но последний кубик D выигрывает вдвое больше партий у кубика А, чем проигрывает ему.)

Поэтому при возможности выбора из пары кубиков А и В надо выбрать А, оставив сопернику более "проигрышный" кубик В; при выборе между В и С надо выбирать В; при выборе между С и D надо выбирать C; но при выборе между D и А надо выбирать D.

Известный популяризатор математики Мартин Гарднер, который в течение многих лет вел математическую рубрику в журнале Scientific American, писал, что нетранзитивные кости "позволяют глубже осознать значение…

открытий, связанных с общим классом вероятностных парадоксов, в которых нарушается правило транзитивности. С помощью любого из этих наборов игральных костей вы можете держать пари в условиях, настолько противоречащих интуиции, что опытные игроки почти не в состоянии разобраться в них, даже если они полностью проанализируют ход игры"[Гарднер М. Крестикино лики. М.: Мир, 1988. С.63–66.].

Разработан и алгоритм генерации чисел для такого рода объектов (причем не только кубиков, но и многогранников, рулеток и т. п.), образующих цепочку любой длины[Deshpande M. N. Intran sitive dice // Teaching statistics. 2000. 22 (1). 4–5.].