С этой точки зрения детерминистическая траектория применима лишь в ограниченных пределах. А поскольку не только на практике, но и в теории мы не можем описывать систему на языке траекторий и вынуждены, использовать функцию распределения, соответствующую конечной (сколь угодно малой) области фазового пространства, нам остается лишь предсказывать статистическое будущее системы,

Наш друг Леон Розенфельд имел обыкновение говорить, что понятия могут быть поняты лишь через их пределы. В этом смысле можно утверждать, что мы достигли ныне лучшего понимания классической меха-пики, создание которой проложило путь к современному естествознанию.

Как возникла новая точка зрения? Для того чтобы ответить на этот вопрос, нам придется описать те глубокие изменения, которые претерпела динамика в XX в. Хотя по традиции динамику принято считать архетипом полной, замкнутой отрасли знания, в действительности она подверглась коренным преобразованиям.

4. Возрождение динамики

В первой части нашей книги мы рассказали о динамике XIX в. Именно такую динамику излагают многие учебники. Прототипом динамической системы в XIX в. было принято считать интегрируемую систему. Решить уравнения движения означало «удачно» выбрать координаты — так, чтобы соответствующие импульсы были инвариантами движения. Такой подход исключал взаимодействие между частями системы. Ставка на интегрируемые системы провалилась. Как уже упоминалось, в конце XIX в. Брунс и Пуанкаре доказали, что большинство динамических систем, начиная со знаменитой проблемы трех тел, неинтегрируемы.

С другой стороны, сама идея приближения к равновесию, сформулированная на языке теории ансамблей, требовала выхода за пределы идеализации интегрируемых систем. В гл. 8 мы видели, что в теории ансамблей изолированная система находится в равновесии, когда она представлена «микроканоническим ансамблем» — все точки на поверхности заданной энергии равновероятны. Это означает, что для системы, стремящейся к равновесию, энергия должна быть единственной величиной, сохраняющейся в ходе эволюции системы. Энергия должна быть единственным инвариантом. При любых начальных условиях система, эволюционируя, должна «побывать» во всех точках поверхности заданной энергии. Для интегрируемых систем энергия — далеко не единственный инвариант. Число инвариантов совпадает с числом степеней свободы, поскольку у интегрируемой системы каждый обобщенный импульс остается постоянным. Следовательно, интегрируемая система «заключена» на весьма ограниченном участке поверхности постоянной энергии (рис. 32) — пересечении всех инвариантных поверхностей.

Рис. 32. Временная эволюция ячейки в фазовом пространстве р, q. «Объем» ячейки и ее форма сохраняются во времени. Большая часть фазового пространства недоступна для системы.

Чтобы избежать этих трудностей, Максвелл и Больцман ввели новый, совершенно иной тип динамической системы. Для таких систем энергия является единственным инвариантом, а сами системы получили название эргодических систем (рис. 33).

Рис. 33. Типичная эволюция в фазовом пространстве ячейки, соответствующей эргодической системе. «Объем» и форма ячейки сохраняются во времени, но на этот раз ячейка перемещается по всему фазовому пространству.

Выдающийся вклад в развитие теории эргодических систем внесли Дж. Биркгоф, фон Нейман, Хопф, Колмогоров и Синай (разумеется, наш перечень далеко не полон)^{[224],[225],[226]}. Ныне мы знаем, что существуют обширные классы динамических (но не гамильтоновых) систем, которые эргодичны. Известно также, что даже сравнительно простые системы могут обладать более сильными свойствами, чем эргодичность. Для таких систем движение в фазовом пространстве становится сильно хаотическим (хотя в полном соответствии с уравнением Луивилля — см. гл. 7 — объем в фазовом пространстве сохраняется).

Предположим, что наше знание начальных условий позволяет нам локализовать систему в малой ячейке фазового пространства. Наблюдая за эволюцией ячейки, мы увидим, как она начнет деформироваться и изгибаться, испуская, подобно амебе, «псевдоножки» по всем направлениям и распространяясь в виде волокон, которые постепенно становятся все тоньше, пока наконец не заполнят все пространство. Ни один самый искусный рисунок не может по достоинству передать всей сложности реальной ситуации. Действительно, в ходе эволюции системы с перемешиванием две точки, сколь угодно близкие в начальный момент времени, могут разойтись в разные стороны. Даже если бы мы располагали столь обширной информацией о системе, что начальная ячейка, образованная представляющими ее точками, была бы очень мала, динамическая эволюция превратила бы эту миниатюрную область в настоящее геометрическое «чудовище», пронизывающее фазовое пространство своими нитями-щупальцами.

Рис. 34. Типичная эволюция в фазовом пространстве ячейки, соответствующей системе с перемешиванием. Объем по-прежнему сохраняется, но форма уже не остается неизменной: ячейка постепенно размазывается по всему фазовому пространству.

Продемонстрируем различие между устойчивыми и неустойчивыми системами на нескольких простых примерах. Рассмотрим двухмерное фазовое пространство. Через одинаковые промежутки времени станем производить преобразования координат, при которых старая абсцисса р переходит в новую абсциссу р—q, а старая ордината q — в новую ординату р. На рис. 35 показано, что произойдет, если применить эти преобразования к квадрату: квадрат деформируется, но после шестикратного действия преобразования мы возвращаемся к исходному квадрату. Система устойчива: соседние точки преобразуются в соседние. Кроме того, рассмотренное нами преобразование циклическое (после шести операций восстанавливается исходный квадрат).

Рис. 35. Преобразование объема в фазовом пространстве, порождаемое дискретным преобразованием: абсцисса р переходит в р—q, ордината q переходит в р. Преобразование циклическое: после шестикратного повторения преобразования исходная ячейка переходит в себя.

Рассмотрим теперь два примера сильно неустойчивых систем. Первый пример чисто математический, второй имеет непосредственное отношение к физике. Первая система — преобразование, названное математиками по понятным соображениям преобразованием пекаря. Берется квадрат и сплющивается в прямоугольник. Половина прямоугольника отрезается, накладывается на другую половину, а получившийся квадрат снова «раскатывается» в прямоугольник. Последовательность операций, представленная на рис. 36, может быть повторена сколько угодно раз.

Рис. 36. Реализация «преобразования пекаря» В и обратного преобразования В^-1. Траектории черной и белой точек позволяют понять, как происходит каждое преобразование.

Каждый раз квадрат разбивается на части, которые перекладываются в другом порядке. Квадрат в этом примере соответствует фазовому пространству. «Преобразование пекаря» переводит каждую точку квадрата в однозначно определенную новую точку. Хотя последовательность точек-образов вполне детерминистична, «преобразование пекаря» обнаруживает также статистические свойства. Пусть начальное условие для системы состоит в том, что область А квадрата первоначально равномерно заполнена представляющими точками. Можно показать, что, после того как преобразование будет повторено достаточное число раз, начальная ячейка А, каковы бы ни были ее размеры и расположение в квадрате, распадется на отдельные несвязные части (рис. 37). Следовательно, любая область квадрата, независимо от ее размеров, всегда содержит различные траектории, которые при каждом «дроблении» области расходятся. Таким образом, несмотря на то что эволюция каждой точки в отдельности обратима и детерминистична, описание эволюции любой, даже сколь угодно малой области носит, по существу, статистический характер.