Рис. 25. Временная эволюция H-функции (определенной в тексте), соответствующая модели Эренфестов. H монотонно убывает и при t→∞ стремится к нулю.

Математический смысл H-функции заслуживает того, чтобы рассмотреть его более подробно: H-функция служит мерой отклонения вероятностей в данный момент времени от вероятностей в равновесном состоянии (когда число шаров в каждой урне равно N/2). Рассуждения, используемые в модели урн Эренфестов, допускают обобщение. Рассмотрим разбиение квадрата, т. е. разделим квадрат на некоторое число непересекающихся областей. Нас будет интересовать распределение частиц по квадрату. Пусть Р(k, t) — вероятность найти частицу в области k (в момент времени t), а Р_равн(k) — вероятность найти частицу в области k в равновесных условиях. Предполагается, что, как и в модели урн, вероятности переходов существуют и однозначно определены. По определению, H-функция задается выражением

Заметим, что в правую часть входит отношение P(k,t)/P_равн(k). Предположим, что мы разделили квадрат на восемь непересекающихся клеток и Р_равн(k)=1/8. Пусть в момент времени t все частицы находятся в первой клетке. Тогда P(1,t)=1, a во всех остальных клетках вероятности P(k,t) равны нулю. Следовательно, H=ln(1/(1/8))=ln8. Со временем частицы распределяются по клеткам равномерно, и P(k,t)=P_равн(k)=1/8. H-функция при этом обращается в нуль. Можно показать, что H-функция убывает монотонно, как это изображено на рис. 25. (Доказательство этого утверждения приводится во всех учебниках по теории стохастических процессов.) Именно поэтому H-функция играет роль «негэнтропии» — S. Монотонное убывание H-функции имеет очень простой смысл: оно отражает и служит мерой прогрессирующего выравнивания неоднородностей в системе. Начальная информация утрачивается, и система эволюционирует от «порядка» к «беспорядку».

Заметим, что марковский процесс включает в себя флуктуации. Это отчетливо видно на рис. 24. Подождав достаточно долго, мы могли бы вернуться в исходное состояние. Следует, однако, подчеркнуть, что речь идет о средних: монотонно убывающая H_м-функция может быть выражена через распределения вероятностей, а не через отдельные события. Именно распределение вероятностей эволюционирует необратимо (в модели Эренфестов функция распределения равномерно стремится к биномиальному распределению). Следовательно, на уровне функций распределения цепи Маркова приводят к однонаправленности во времени.

Стрела времени характеризует различие между цепями Маркова и временной эволюцией в квантовой механике, в которой волновая функция (самым непосредственным образом связанная с вероятностями) эволюционирует во времени обратимо. Это также один из примеров тесной взаимосвязи между стохастическими процессами, например цепями Маркова, и необратимостью. Однако возрастание энтропии (или убывание H-функции) основывается не на стреле времени, заложенной в законах природы, а на нашем решении воспользоваться знанием, которым мы располагаем в настоящем, для предсказания поведения в будущем (но не в прошлом). Вот что говорит об этом в присущей ему лапидарной манере Гиббс:

«Но хотя по отношению к математическим построениям различие между предшествующими и последующими событиями и может являться несущественным, по отношению к событиям реального мира дело обстоит совершенно иначе. В тех случаях, когда мы используем ансамбли для вычисления вероятностей событий, происходящих в реальном мире, нельзя забывать о том, что если вероятности последующих событий довольно часто можно определить, зная вероятности предшествующих, то лишь в весьма редких случаях удается определить вероятности предшествующих событий, зная вероятности последующих, ибо лишь чрезвычайно редко можно обоснованно исключить из рассмотрения априорную вероятность предшествующих событий»^[202].

Асимметрия между прошлым и будущим — важный вопрос, бывший и продолжающий оставаться предметом оживленного обсуждения^[203]. Теория вероятностей ориентирована во времени. Предсказание будущего отлично от восстановления хода событий задним числом. Если бы этим отличием все и ограничилось, то нам не оставалось бы ничего другого, как принять субъективную интерпретацию необратимости, так как различие между прошлым и будущим оказалось бы зависимым только от нас. Иначе говоря, при субъективной интерпретации необратимости (к тому же подкрепляемой сомнительной аналогией с теорией информации) «ответственность» за асимметрию во времени, характеризующую развитие системы, возлагается на наблюдателя. А так как наблюдатель не может «одним взглядом» определить положения и скорости всех частиц, образующих сложную систему, ему не известно мгновенное состояние системы, содержащее в себе ее прошлое и будущее; он не в состоянии постичь обратимый закон, который позволил бы предсказать развитие системы от одного момента времени к следующему. Наблюдатель не может также производить над системой такие манипуляции, какие производил максвелловский демон, способный разделять быстро и медленно движущиеся частицы и вынуждать систему к антитермодинамической эволюции от менее к более неоднородному распределению температуры^[204].

Термодинамика по-прежнему остается наукой о сложных системах, но с указанной точки зрения единственной специфической особенностью сложных систем является то, что наше знание о них ограниченно и неопределенность со временем возрастает. Вместо того чтобы распознать в необратимости связующее звено между природой и наблюдателем, ученый вынужден признать, что природа лишь отражает его собственное незнание. Природа безответна. Необратимость, отнюдь не способствуя укреплению наших позиций в физическом мире, представляет собой не более чем отзвук человеческой деятельности и ее пределов.

Против подобной точки зрения сразу же можно возразить. Приведенные выше интерпретации исходят из того, что термодинамика должна быть столь же универсальной, как и наше незнание. Но тогда должны существовать только необратимые процессы. Именно это и является камнем преткновения всех универсальных интерпретаций энтропии, уделяющих основное внимание нашему незнанию начальных (или граничных) условий. Необратимость — не универсальное свойство. Чтобы установить связь между динамикой и термодинамикой, необходим физический критерий, который позволил бы нам различать обратимые и необратимые процессы.

К этому вопросу мы вернемся в гл. 9. А пока обратимся снова к истории науки и к пионерским работам Больцмана.

2. Больцмановский прорыв

Свои основные результаты Больцман получил в 1872 г., за тридцать лет до того, как были открыты цепи Маркова. Больцман намеревался дать «механическую» интерпретацию энтропии. Иначе говоря, если в цепях Маркова вероятности перехода заданы извне (как в модели Эренфестов), их в действительности необходимо связать с динамическим поведением системы. Эта проблема настолько захватила Больцмана, что он посвятил ей большую часть своей научной жизни. В его «Статьях и речах» есть такие строки:

«Если вы меня спросите относительно моего глубочайшего убеждения, назовут ли нынешний век железным веком или веком пара и электричества, я отвечу не задумываясь, что наш век будет называться веком... Дарвина»^[205].

Идея эволюции неотразимо влекла к себе Больцмана. Его мечтой было стать Дарвином эволюции материи.

Первый шаг на пути к механистической интерпретации энтропии состоял во введении в физическое описание некогда отброшенного представления о столкновении атомов и молекул и тем самым в создании базы для статистического описания. Этот шаг был сделан Клаузиусом и Максвеллом. Так как столкновения — явления дискретные, их можно сосчитать и оценить среднюю частоту. Мы можем также классифицировать столкновения, например отнести к одному классу столкновения, в результате которых рождается частица с заданной скоростью v, а к другому — столкновения, в результате которых частица со скоростью v исчезает, превращаясь в частицы с другими скоростями (т. е. разделить столкновения на прямые и обратные)^[206].