Движение как организация. Планеты, которые «бродят» по небу, а в действительности движутся по эллипсам, остаются в Солнечной системе, а не улетают прочь. Слово «система» подчеркивает привычку мыслить о нашем космическом окружении как о чем-то едином и заодно достаточно устойчивом. Причина такого положения дел в том, что существует вид движения под действием притяжения (да, эллипсы), участники которого не разбегаются в разные стороны. Открывая планеты у других звезд, мы тоже говорим о планетных системах и тоже, разумеется, рассуждаем в терминах эллипсов, по которым там летают планеты. На тех расстояниях, с которых мы их наблюдаем, ничего, кроме планет (и иногда значительных скоплений пыли), обнаружить не удается, но про свою Солнечную систему мы хорошо знаем, что в ней содержится множество разного, кроме планет; и все разнообразные ее обитатели летают вокруг Солнца тоже по эллипсам – в большей или меньшей мере искажаемым влиянием других обитателей. Я легко соглашусь с тем, что самое интересное из происходящего состоит как раз в этих взаимных влияниях, вызванных ими изменениях орбит и прочих драматических событиях, но тем не менее буду настаивать на том, что Солнечная система организована в нечто единое благодаря замкнутым траекториям. Ту же идею организации движущихся частей в нечто единое мы усматриваем в структурах большего масштаба: Солнечная система вместе с другими звездами, а также газом и пылью обращается вокруг центра галактики Млечный Путь, и все вместе они тоже составляют «систему»; другие галактики в дальнем космосе – основные структурные элементы, в терминах которых мы говорим об этом космосе. Движение в сочетании с законом притяжения – элемент организации и одновременно инструмент для проверки нашего понимания происходящего во Вселенной; ближе к дому это еще и возможность применить достигнутое понимание на практике. Движение как предмет для применения имеющихся знаний и способ получения новых – объект нашего внимания на следующих прогулках.

Об уравнениях. Волей-неволей нам предстоят прогулки в компании уравнений: их приходится упоминать и о них рассуждать, даже если сами они не присутствуют здесь во всей своей математической полноте. Нелишне сказать несколько слов об уравнениях вообще.

Если говорить одним словом, то уравнение – это задача. Сформулирована эта задача в виде двух различных математических выражений, соединенных знаком равенства. Как правило, требуется определить, каким должно быть неизвестное, чтобы это равенство действительно выполнялось (например, каким должно быть x, чтобы выполнялось равенство x² = 1). До конца этого абзаца будем считать, что неизвестное – это число или числа, «любые» или из какого-то класса (например, иногда бывают интересны целые числа или, скажем, положительные; к уравнению всегда прилагается или подразумевается информация о том, в каком классе следует искать неизвестное). Кроме неизвестного или неизвестных, уравнения содержат нечто известное или считающееся известным. В буквальном смысле известными (известнее не бывает) являются конкретные числа, но очень часто в качестве известных фигурируют и буквы. Смысл букв в том, что их можно заменять числами по нашему выбору, но желательно делать это, когда уравнение уже решено. Получить решение «в буквах» всегда здорово, потому что решение относится тогда не к одному-единственному уравнению с конкретными числами, а к семейству уравнений. Хрестоматийный пример – квадратное уравнение, в котором одна буква x обозначает неизвестное, а две или три другие буквы считаются известными. Такое уравнение можно действительно решить «в буквах», т. е. в общем виде, но это редкая ситуация – например, с уравнением пятой степени (содержащим x⁵ и более низкие степени) этого сделать нельзя, за исключением особых случаев, и приходится решать уравнение каждый раз заново с конкретными числами. Компьютер, как правило, неплохо справляется с уравнениями, в которых, кроме неизвестного, присутствуют только числа.

Но неизвестными могут быть не только числа, но и более сложные объекты – функции. Пример функции – поведение (зависимость от времени) какой-либо величины, скажем объема вашего вклада в банке. Данные о том, что каждый день вклад увеличивается на 0,001 своей величины, являются, по существу, уравнением, из которого можно найти это поведение – функцию времени – и, например, узнать размер вклада через 1000 дней. Часто (хотя и не всегда) в задачах про такое поведение нет «зернистости» в виде фиксированного отрезка времени («дня»): считается, что функция изменяется непрерывно, и формулировка уравнений к этому приспособлена (такие уравнения называются дифференциальными, что примерно означает «имеют дело с очень малыми изменениями»). Пример поведения – координаты тела, движущегося в пространстве; чтобы задать его траекторию, требуются три функции времени – по одной для каждой из координат. Когда тела движутся под действием каких-либо сил, эти функции не произвольны, а определяются уравнениями движения.

Рис. 1.7. Конические сечения

Уравнения, которые выражают законы природы, описывают точную (количественную) связь между какими-то величинами. Такие уравнения позволяют делать предсказания о поведении и свойствах изучаемых систем. Когда предполагается наличие в природе какой-либо связи, сопоставление предсказаний с наблюдениями служит для отбора тех уравнений, которые приводят к более точным предсказаниям. Несколько упрощая, можно сказать, что таким образом и формулируются работающие законы природы.

Конические сечения. Орбиты трех типов – эллипс (становящийся окружностью в частном случае), парабола и гипербола – объединены самим фактом того, что они и только они (кроме еще тривиального случая прямой линии) являются траекториями движения тел под действием притяжения одного центра. Они же объединены свойством совершенно иного типа: они и только они (и в специальном случае – прямая) возникают как пересечение плоскости и конуса. Конус – это поверхность, которая образуется, если свернуть в воронку лист бумаги, но с одним уточнением: математический конус продолжается по обе стороны от вершины, как видно уже на рис. 1.7a. Если теперь пересечь конус плоскостью, которая перпендикулярна оси симметрии, то в сечении получится окружность. Наклоняя плоскость, мы получаем в сечении разнообразные эллипсы – всё более вытянутые по мере того, как наклон плоскости увеличивается (рис. 1.7b), – до тех пор, пока наклон не станет таким же, как наклон образующей конуса. В этом случае (рис. 1.7c) в сечении получается парабола (в некотором роде, как мы говорили, эллипсов много, а парабола одна; здесь эта идея выражается в том, что парабола возникает при точно обозначенном угле). Наклоняя плоскость еще сильнее, получаем в сечении гиперболы – разные в зависимости от угла наклона (рис. 1.7d). Здесь требуется небольшое пояснение: каждая гипербола имеет две части, потому что плоскость задевает и верхнюю, и нижнюю половины конуса. Говоря о гиперболе как о траектории движения, имеют в виду одну ее половину (которую тогда тоже называют гиперболой).

Почему три вида кривых, и только они, оказались решением двух столь различных задач (задача Кеплера и конические сечения) – вопрос, который нельзя было не задать некоторое число раз за те триста с лишним лет, как этот факт выяснился (конические сечения как таковые были известны в Древней Греции). Эллипс, кроме того, геометрически полностью симметричен относительно двух фокусов, что видно уже из построения с ниткой, показанного на рис. 1.1; но в Солнечной системе нет никакой «нитки», которая указывала бы планете, как двигаться, а сила действует на планету всегда и только в сторону одного из фокусов. Как же геометрия возникает из закона тяготения? Самый простой ответ: она получается как решение уравнений. Этот ответ, однако, никак не проясняет механизм, а из-за того, что уравнения здесь дифференциальные, он не относится к числу «элементарных». Есть ли элементарное решение, т. е. такое, которое позволяет перевести одну задачу (нахождение орбиты) в другую (построение конического сечения), причем делает это «непосредственно» и без использования математических средств типа дифференциального исчисления? Такое элементарное решение известно; в частности, ему посвящена «забытая» лекция Фейнмана – забытая на фоне других, прочитанных им в Калтехе и вошедших в «Фейнмановские лекции по физике». Однако Фейнман предваряет рассуждения таким предупреждением: