А             В

б) а – «многоугольник», b – «параллелограмм»: объемы данных понятий находятся в отношении включения, но не совпадают – всякий параллелограмм является многоугольником, но не наоборот. Следовательно, понятие «параллелограмм» – видовое по отношению к понятию «многоугольник», а понятие «многоугольник» – родовое по отношению к понятию «параллелограмм».

А

В

в) а – «прямая», b – «отрезок»: объемы понятий не пересекаются, т.к. ни про один отрезок нельзя сказать, что он является прямой, и ни одна прямая не может быть названа отрезком. Следовательно, данные понятия не находятся в отношении рода и вида (отрезок – часть прямой, т.е. наблюдается отношение целого и части).

А       В

IV. Определение понятий

1. Понятие определения.

Определение понятий – это логическая операция, с помощью которой раскрывается содержание понятия, либо устанавливается значение термина.

2. Виды определений.

По способу выявления содержания понятия различают явные и неявные определения.

К неявным определениям относят остенсивные. Это определения, раскрывающие существенные свойства (признаки) предметов путем указания, показа, демонстрации объектов, которые этими терминами обозначают.

Например, при ознакомлении с алгебраическими понятиями пользуются остенсивными определениями так:

4 · 7 < 4 · 9       8 · 7 = 56

23 + 8 > 30      9 · 6 = 6 · 9

93 – 8 < 93 – 6      46 + 7 = 62 – 9

Это неравенства.      Это равенства.

Наиболее часто применяются остенсивные определения при изучении геометрических понятий.

Остенсивные определения характеризуются незавершенностью. Поэтому впоследствии требуется подробное изучение этих понятий.

Также применяют описание или сравнение объектов.

К неявным определениям относят и контекстуальные – через отрывок текста, через контекст, через анализ конкретной ситуации, описывающей смысл понятия.

Через текст устанавливается связь определяемого понятия с другими, уже известными понятиями, раскрывая его содержание.

Например, при изучении понятия уравнения (2 класс):

– 5 = 4

Из какого числа нужно вычесть 5, чтобы получилось 4?

Обозначим неизвестное число латинской буквой х:

х – 5 = 4 – это уравнение.

Решить уравнение – это значит найти неизвестное число. В данном уравнении неизвестное число равно 9, так как 9 – 5 = 4.

Объясни, почему числа 0, 10, 8 не подходят.

3. Определение через род и видовое отличие.

Среди явных определений в математике чаще всего используются определения через род и видовое отличие.

Например: «Прямоугольник – это четырехугольник, у которого все углы прямые».

В этом определении есть две части – определяемое понятие (прямоугольник) и определяющее понятие (четырехугольник, у которого все углы прямые). Если обозначить через а первое понятие, а через b – второе, то данное определение можно представить в таком виде:

а есть (по определению) b или а <=> b

опр.

Читают запись так: «а равносильно b по определению» или «а тогда и только тогда, когда b».

В определении прямоугольника можно выделить в определяющем понятии:

а) понятие «четырехугольник», которое является родовым по отношению к понятию «прямоугольник»;

б) свойство «иметь все углы прямые», которое позволяет выделить из всевозможных четырехугольников один вид – прямоугольники; поэтому его называют видовым отличием.

Видовое отличие – это свойство (одно или несколько), которые позволяют выделять определяемые объекты из объема родового понятия.

Это можно показать на схеме:

Определяемое понятие <=> Родовое понятие + Видовое отличие

Определяющее понятие

Схему можно заменить формулой: а <=> с + Р

опр.      b

Формулируя определения понятий через род и видовое отличие, применяют следующие правила:

1) определение должно быть соразмерным;

2) в определении не должно быть порочного круга;

3) определение должно быть ясным;

4) одно и то же понятие определить через род и видовое отличие, соблюдая правила можно по-разному.

Натуральные числа и 0.

Методика изучения нумерации натуральных чисел и 0 в начальном курсе математики

План:

1. Из истории возникновения и развития понятий натурального числа.

2. Отрезок натурального ряда. Счет элементов конечного множества.

3. Теоретико-множественный смысл натурального числа и нуля.

1. Из истории возникновения и развития понятий натурального числа и нуля

В начальной школе большое внимание уделяется изучению нумерации целых неотрицательных чисел, а также действий над ними. Это является одной из центральных тем курса начальной математики, так как всю жизнь человек пользуется различного рода вычислениями, счетом предметов и т.д. Следовательно, учитель должен хорошо представлять себе, с какой системой счисления он работает, каковы ее особенности и как она появилась.

В школьном учебнике математики программы «Перспектива» 2 класс, 2 часть под редакцией Л.Г. Петерсон для учащихся начальных классов кратко, но емко изложена эта история.

Еще в самые отдаленные времена людям понадобились арифметические знания, чтобы определять, когда надо засевать поля, начинать полив, когда ждать потомства от животных. Надо было знать; сколько овец в стаде, сколько мешков зерна положено в амбары. Однако первобытные люди не умели считать. И вот много тысяч лет тому назад древние пастухи стали делать из глины кружки – по одному на каждую овцу. Чтобы узнать, не пропала ли за день хоть одна овца, пастух откладывал в сторону по одному кружку каждый раз, когда очередное животное проходило в загон. И только убедившись, что овец вернулось столько же, сколько было кружков, он спокойно шел спать.

Но в стаде у первобытных людей были не только овцы – они пасли и коров, и коз, и ослов. Поэтому пришлось делать из глины и другие фигурки. А земледельцы с помощью глиняных фигурок, камушков, зарубок вели учет собранного урожая. Они отмечали, сколько мешков зерна положено в амбар, сколько кувшинов масла выжато из оливок, сколько соткано кусков льняного полотна. Складывая и вычитая множества предметов, они решали простейшие задачи на сложение и вычитание. Так, еще не умея считать, древние люди занимались арифметикой. Перекладывать камушки и глиняные фигурки с места на место было довольно утомительным занятием. Но прошло много тысячелетий, прежде чем люди научились пересчитывать предметы. Для этого им пришлось придумывать названия для чисел.

О том, как появились имена у чисел, ученые узнают, изучая языки различных племен и народов. Например, оказалось, что «у нивхов, живущих на Сахалине, числительные зависят от того, какие предметы считают. Важную роль играет форма предмета, так что по-нивсхи в сочетаниях «два яйца», «два камня», «два глаза» и так далее числительные различны. Одному и тому же русскому слову «два» у них соответствует несколько десятков различных слов. Нечто подобное было и древних людей. И должно было много столетий, а может быть и тысячелетий, прежде чем одни и те же числительные стали применять к предметам любого вида. Вот тогда и появились общие названия для чисел. Сначала названия получили только числа 1 и 2. Название для числа «один» связывалось обычно со словом «солнце», а название для числа «два» – с предметами, встречающимися попарно: крыльями, ушами и так далее. Но бывало, что числам 1 и 2 давали иные имена. Иногда их связывали с местоимениями «я» и «ты». А были языки, где «один» звучало так же как «мужчина», а «два» – как «женщина». У некоторых племен еще совсем недавно не было других числительных, кроме «один» и «два». А все, что шло после двух, называлось «много» Но потом понадобилось называть и другие числа. Ведь и собак у охотника, и стрел у него, и овец у пастуха может быть больше, чем две. И тут придумали замечательный выход: числа стали называть, повторяя несколько раз названия для единиц и двоек».