а) Если запись числа оканчивается нулем, то оно кратно 10. Число 260 оканчивается нулем. Следовательно, число 260 кратно 10.

б) Если запись числа оканчивается нулем, то оно кратно 10. Если число кратно 10, то оно четное. Следовательно, если запись числа оканчивается 0, то оно четное.

в) Если запись числа оканчивается нулем, то оно кратно 10. Число 263 не кратно 10. Следовательно, оно не оканчивается нулем.

II.      Согласно определению, в дедуктивном умозаключении посылки и заключение находятся в отношении логического следования. Это означает, что в нем всегда из истинных посылок следует истинное заключение.

Важно знать, как строить такие умозаключения и проверять их правильность.

В логике считают, что правильность умозаключения определяется его формой и не зависит от его конкретного содержания входящих в него утверждений. Математика предлагает такие правила, соблюдая которые можно строить дедуктивные умозаключения. Эти правила называются правилами вывода или схемами дедуктивных умозаключений:

1. А(х) => В(х), А(а) – правило заключения;

В(а)

2. А(х) => В(х), В(а) – правило отрицания;

      А(а)

3. А(х) => В(х), В(х) => С(х) – правило силлогизма.

А(х) => В(х)

В правиле заключения обозначены две посылки: А(х) => В(х) и А(а). Первую называют общей (это может быть определение, правило, теорема), а вторую – частной (она получается из условия А(х) при х = а).

Например:

Если запись числа х оканчивается цифрой 5, то число х делится на 5. Запись числа 135 оканчивается цифрой 5. Следовательно, число 135 делится на 5.

Данное умозаключение можно записать так – А(х) => В(х), А(а), где

А(х) – общая посылка – «запись числа х оканчивается цифрой 5», а

В(х) – «число х делится на 5»;

А(а) – частная посылка – «число 135 оканчивается цифрой 5», при х = 135;

В(а) – заключение – «число 135 делится на 5».

Для правила отрицания приведем такой пример:

Если запись числа х оканчивается цифрой 5, то число х делится на 5. Число 137 не делится на 5. Следовательно, оно не заканчивается цифрой 5.

      Это умозаключение можно записать так – А(х) => В(х), В(а), где:

А(х) => В(х) – общая посылка такая же, как и в первом случае – «запись числа х оканчивается цифрой 5, то число х делится на 5»;

В(а) – частная посылка – отрицание – «число 137 не делится на 5», при х = 137;

А(а) – заключение – отрицание – «число 137 не оканчивается цифрой 5».

К правилу силлогизма приведем такой пример:

Если число х кратно 12, то оно кратно 6. Если х кратно 6, то оно кратно 3. Следовательно, если число х кратно 12, то оно кратно 3.

В этом умозаключении две посылки вида «если А(х), то В(х)» и «если В(х), то С(х)», где

А(х) – «х кратно 12»,

В(х) – «х кратно 6»,

С(х) – «х кратно 3».

Заключение представляет собой «если А(х), то С(х)».

Выполняя рассуждения по этим правилам, мы всегда будем получать истинные заключения, что и требуется в дедуктивном заключении.

В логике существуют различные способы проверки истинности заключений, но часто используются круги Эйлера.

Задача.

«Если запись числа оканчивается цифрой 5, то число делится на 5. Число125 делится на 5. Следовательно, запись числа оканчивается на 5».

Правильно ли это заключение?

Данное умозаключение выполнено по схеме А(х) => В(х), В(125)

А(125)

В общем виде ее можно представить так: А(х) => В(х), В(а)

А(а)

Такой схемы из тех, которые нами рассмотрены, нет. Для определения, является ли это умозаключение дедуктивным, воспользуемся кругами Эйлера. На теоретико-множественном языке запишем правило так

ТА c ТВ, а Є ТА

а Є ТВ

Тв

. а

      тТтттТ

Та

ТА – множество чисел, оканчивающихся на 5;

ТВ – множество чисел, делящихся на 5;

а = 125.

Мы изобразили на кругах Эйлера множества истинности ТА, ТВ и элемент а, который принадлежит множеству ТА. Но он может содержаться и в множестве ТВ, а может ему и не принадлежать. Значит, эта схема не гарантирует истинность умозаключения, т.к. оно не может быть дедуктивным. Данное умозаключение не является истинным, т.к. не выполнено по схеме.

Важно отметить, что

1) выполняя умозаключение, можно менять очередность посылок и начинать с заключения, а потом воспроизводить посылки;

2) если общие посылки рассмотренных в правилах дедуктивных умозаключений содержат более одной переменной, то это не нарушает их смысл.

Практическая работа

1. Определите логическую структуру умозаключений.

а) Во всяком прямоугольнике противоположные стороны равны. Четырехугольник АВСD – прямоугольник. Следовательно, его противоположные стороны равны.

б) Все прямоугольники являются параллелограммами. Во всех параллелограммах противоположные стороны равны. Следовательно, в любом прямоугольнике противоположные стороны равны.

в) Все числа кратные 2, являются четными. Число 17 не является четным. Следовательно, оно не делится на 2.

г) Равные треугольники имеют равные площади. Треугольники АВС и МНР имеют равные площади. Следовательно, они равны.

2. Закончите умозаключения так, чтобы они были дедуктивными.

а) Все квадраты – прямоугольники. Все прямоугольники – многоугольники. Следовательно, … .

б) В любом прямоугольнике сумма внутренних углов равна 360̊ . Четырехугольник АВСD – … .

III. Обычно, в математике, когда говорят о доказательстве, имеют в виду проверку высказанного утверждения.

Доказать какое-либо утверждение – это значит показать, что это утверждение логически следует из системы истинных и связанных с ним утверждений.

В логике считают, что если рассматриваемое утверждение логически следует из уже доказанных утверждений, то оно обоснованно и также истинно, как и они. Т.е. основным способом доказательства является дедуктивный вывод.

Доказательство – это логическая операция, в процессе которой обосновывается истинность какого-либо утверждения с помощью других истинных и связанных с ним утверждений. Для этого строится конечная цепочка умозаключений, причем заключение каждого из них (кроме последнего) является посылкой в одном из последующих умозаключений.

Доказательство в виде цепочки умозаключений выполняется в соответствии с правилами вывода и указанием всех посылок, оно не предназначено для постоянного использования на практике, где чаще пользуются свернутыми схемами умозаключений.

Применяются не только правила построения дедуктивных умозаключений, но и четыре основных закона логики:

1. Закон тождества.

Каждая мысль, повторяемая в рассуждении, должна быть тождественна самой себе. Это означает, что в процессе рассуждения нельзя подменять одну мысль другой, а одно понятие другим. Нельзя тождественные мысли выдавать за различные, а различные за тождественные.

2.Закон непротиворечия.

Высказывание и его отрицание не могут быть одновременно истинными, одно из них всегда ложно.

Если в в мышлении или речи человека обнаружено логическое противоречие, то такое мышление считается неправильным, а суждение вытекающее из него – ложным.

3. Закон исключенного третьего.

Из двух противоречивых высказываний об одном и том же предмете, одно – истинно, другое – ложное, третьего быть не может.

Этот закон требует выбора одной из взаимоисключающих альтернатив.