4. Закон достаточного основания.

Всякое истинное утверждение должно быть обосновано с помощью других утверждений, истинность которых уже доказана.

Т.е. истинность утверждения нельзя принимать на веру. В качестве аргументов для доказательств используются определения понятий, доказанные теоремы и правила.

Следовательно, при доказательстве необходимо

1) иметь то утверждение, истинность которого нужно доказывать;

2) понимать, что доказательство- это цепочка дедуктивных умозаключений, выполняемых по правилам и законам логики;

3) понимать, какие истинные утверждения можно использовать в процессе доказательства.

Доказательства существуют трех видов:

1) прямое,

2) косвенное,

3) полная индукция.

Прямое доказательство – это построение цепочки дедуктивных умозаключений, выполняемых последовательно от А => В с соблюдением правил и законов логики, истинность которых доказана.

В доказательстве об утверждении, что четырехугольник, у которого три углы прямые, то это прямоугольник, является прямым, т.к. основываясь на истинном предложении с учетом теоремы, строится цепочка дедуктивных утверждений, приводящая к истинному заключению.

Косвенное доказательство – доказательство методом от противного. При доказательстве теоремы – А => В, допускают, что заключение В – ложно, а отрицание истинно. Предложение В (не В) присоединяется к совокупности истинных посылок, и строится умозаключение до тех пор, пока не получится противоречивое утверждение для А. Устанавливают противоречие, на основании закона о непротиворечии, и делают вывод, что предположение было ложным. Значит, на основании закона исключения третьего истинно В, т.е. то, что и требовалось доказать.

Полная индукция – метод доказательства, при котором истинность утверждения следует из истинности его во всех частных случаях.

Способы определения понятий в начальном курсе математики

План:

I. Понятия, изучаемые в курсе начальной математики.

II. Объем и содержание понятия.

III. Отношения между понятиями.

IV. Определение понятий.

1. Понятие определения.

2. Виды определений.

3. Определение через род и видовое отличие.

I. Понятия, изучаемые в курсе начальной математики.

Понятия, которые изучаются в начальном курсе математики, разбивают на четыре группы:

1) арифметические понятия, связанные с числами и операциями над ними (число, цифра, сложение, слагаемое и др.);

2) алгебраические понятия (выражения, равенства, неравенства, уравнение и др.);

3) геометрические понятия (прямая, отрезок, треугольник и др.);

4) понятия, связанные с величинами и их измерением.

В логике понятие рассматривают как форму мышления, отражающую объекты (предметы или явления) в их существенных и общих свойствах. Языковой формой понятия является слово или группа слов.

Понятия не существуют в объективном мире. Они возникают в сознании человека и заменяют предметы и явления этого мира, являясь их идеальными образами.

Иметь понятие об объекте – это значит уметь выделить его существенные признаки и отличить от всех других объектов. Математические понятия, как и другие, существуют лишь в мышлении человека, отражены в математическом языке (математических знаках и символах).

Учитель должен владеть объемом и содержанием понятий, об отношениях между ними и об операциях с ними.

II. Объем и содержание понятия

Всякий математический объект обладает определенными свойствами, среди которых выделяют существенные и несущественные.

Свойства называются существенными, если без них объект существовать не может, т.е. они ему присущи.

Ярко это можно продемонстрировать на геометрических понятиях. Любой прямоугольник имеет четыре стороны, четыре угла, равные диагонали. Но без третьего свойства он существовать не может: все четыре угла – прямые. А квадрат имеет четыре прямых угла, равные диагонали, четыре стороны. Существенное свойство – все стороны равны.

Следовательно, когда говорят о математическом понятии, то подразумевают множество объектов, называемых одним словом или группой слов (термином). Если говорят о прямоугольниках, то это все те фигуры, у которых все четыре угла прямые, а квадраты – это прямоугольники, у которых все стороны равны.

Считается, что множество всех квадратов составляет объем понятия «квадрат».

Объем понятия – это множество всех объектов, которые обобщаются в понятии и обозначаются одним термином.

Любое понятие имеет содержание.

Содержание понятия – это множество всех существенных свойств объекта, отраженных в этом понятии.

Объем понятия прямоугольник – это множество различных прямоугольников, а в его содержание входят такие свойства прямоугольника:

– «иметь четыре стороны»,

– «иметь четыре прямых угла»,

– «иметь равные противоположные стороны»,

– «иметь равные диагонали».

III. Отношения между понятиями

Между объемом понятия и его содержанием существует взаимосвязь: если увеличивается объем понятия, то уменьшается его содержание, и наоборот, с уменьшением объема понятия – увеличивается его содержание.

Например, объем понятия «квадрат» является частью объема понятия «прямоугольник», а в содержании, понятия «квадрат» содержится больше свойств, чем в содержании понятия «прямоугольник» («все стороны равны», «диагонали взаимно перпендикулярны», «диагонали равны» и другие).

Любое понятие нельзя усвоить, не осознавая его взаимосвязи с другими понятиями. Поэтому важно знать, в каких отношениях могут находиться эти понятия, и уметь устанавливать эти связи.

Понятия обозначают строчными буквами латинского алфавита: а, b, c, d, …, z. Поэтому, если заданы два понятия а и b, то объемы этих понятий обозначают соответственно А и В.

Они могут находится в различных отношениях.

Если А c В (А ≠ В), то говорят, что понятие а – видовое по отношению к понятию b, а понятие b – родовое по отношению к понятию а.

Например: если а – это «прямоугольник», b – это «четырехугольник», то их объемы А и В находятся в отношении включения (А c В и А ≠ В ), т.к. каждый прямоугольник является четырехугольником. Поэтому можно утверждать, что понятие «прямоугольник» – видовое по отношению к понятию «четырехугольник», а понятие «четырехугольник» – родовое по отношению к понятию «прямоугольник».

Если А = В, то говорят, что понятия а и b тождественны.

1) Понятия рода и вида относительны: одно и то же понятие может быть родовым по отношению к одним понятиям и видовым по отношению к другим. Например: понятие «прямоугольник» – родовое по отношению к понятию «квадрат» и видовым по отношению к понятию «четырехугольник».

2) Для понятия прямоугольник существует несколько родовых понятий – «четырехугольник», «параллелограмм», «многоугольник». Среди них можно указать ближайшее – параллелограмм».

3) Видовое понятие обладает всеми свойствами родового понятия. Квадрат являясь видовым понятием по отношению к понятию «прямоугольник», обладает всеми свойствами, присущими прямоугольнику.

Отношения между понятиями, изображая объемы, можно показать с помощью кругов Эйлера.

Например:

а) а – «прямоугольник», b – «ромб»: объемы пересекаются, но ни одно множество не является подмножеством другого, следовательно понятия «прямоугольник» и «ромб» не находятся в отношении рода и вида.