Формальные свойства математики имеют весьма любопытное происхождение, а первооткрывателем их стал Пифагор Самосский – одна из самых противоречивых исторических личностей. Прошло больше двух с половиной тысяч лет после его смерти, но имя Пифагора до сих пор живет в названной в его честь теореме о прямоугольных треугольниках[6]. Что же касается реального древнегреческого ученого Пифагора, то он был сложным и чудным человеком – столько же мистиком, сколько и математиком, оставившим нам в наследство любопытное духовное учение и незаурядное самомнение. Более напоминавший Рона Хаббарда, нежели Г. Харди, он основал религиозную секту своего имени – секту пифагорейцев. Подробности их верований были, разумеется, искажены за много лет и веков, и теперь мы можем судить об учении пифагорейцев лишь по немногим сохранившимся фрагментам. Известно, например, что они верили в метемпсихоз – греческую версию реинкарнации. Согласно Ксенофану, Пифагор был однажды напуган собачьим лаем, который он принял за голос своего умершего друга, возродившегося в образе пса. Последователи философа-математика воздерживались от мяса и рыбы, то есть были первыми известными из письменной истории вегетарианцами. По совершенно непонятной причине Пифагор испытывал отвращение к бобам и запрещал своим ученикам прикасаться к ним. Истинные причины этого запрета теряются в тумане веков, но версий существует несколько. По одной из них бобовым приписывали свойство священной связи с жизнью, по другой – Пифагор считал, что, испуская кишечные газы, человек теряет часть своей души.
В Самосе Пифагор жил в скрытой от любопытных глаз пещере, а именитые горожане советовались с ним по важным общественным вопросам в школе, которую он сам назвал “Полукругом”. Пифагор много времени провел в Египте, где на него оказали большое влияние символизм и загадочные обряды высшего египетского жречества. Свою школу Пифагор основал в греческой колонии, в Кротоне, где прозелиты давали клятву сохранять тайну, после чего становились членами общины. Прогрессивность пифагорейцев заключалась в том, что в свои ряды они принимали и женщин. Символизм играл в жизни общины выдающуюся роль: любой посвященный, который безрассудно решался показать чужакам почитаемые пифагорейцами священные изображения, бывал жестоко наказан.
Членам общины строжайше запрещалось мочиться, стоя лицом к солнцу, или проходить мимо осла, лежавшего на дороге. Тем не менее влияние Пифагора значительно и до сих пор, как утверждает Бертран Рассел в “Истории Западной философии”:
Пифагор является одним из наиболее интересных и одновременно загадочных людей в истории… коротко его можно описать, как комбинацию Эйнштейна и миссис Эдди[7]. Он основал религию, главным догматом которой было переселение душ и греховность употребления в пищу бобов. Вера эта воплотилась в религиозном ордене, который кое-где стал проникать в государственную власть и устанавливать правила жизни, пригодные разве что для святых. Но нераскаявшиеся грешники жаждали бобов, и рано или поздно в таких полисах вспыхивали мятежи.
Если оставить в стороне неортодоксальные положения пифагорейской веры, то объединяла последователей Пифагора философия, наполнявшая математические явления религиозным значением: числа источали божественность, а в отношениях между ними скрывались тайны космоса. Параллель с религией не является натяжкой: после открытия доказательства 47-го положения Евклида пифагорейцы принесли в ритуальную жертву быка. Они искали эзотерическое значение в гармонии чисел и из всех своих верований превыше всего ценили мистическую пропорцию. Пифагорейцы верили, что все числа можно выразить особым отношением, единственной дробью с присущими ей внутренними мистическими свойствами. Например, число 1,5 должно быть сведено к сущностному отношению 3/2, или 1,85 к 37/20. Ту же логику следовало прикладывать и в отношении целых чисел; например, 5 можно свести к простой дроби 5/1.
Числа, которые можно представить в виде простых дробей, называются рациональными. Для пифагорейцев основу веры составляло то, что все числа можно представить именно в такой форме, и рациональность чисел была скалой, на которой зиждилась их духовная философия. Казалось, сама природа подтверждала их правоту: Пифагор и его последователи проявляли глубокий интерес к музыке, наблюдая возникновение гармонии при укорочении вибрирующей струны на определенную долю. Это можно продемонстрировать на хорошо настроенной гитаре: дерните открытую струну, и пусть она звучит. Теперь прижмите струну к грифу на середине ее длины, на отметке 12-го лада. Звук станет на одну октаву выше, чем при звучании открытой струны, так как частота колебаний увеличится в два раза. Если на электрогитаре вы прижмете струну в 24-ом ладу, то длина звучащей струны уменьшится еще вдвое, и в результате звук будет выше уже на две октавы. Это метафизическое знание о мелодике и гармонии укрепляло уверенность в божественном происхождении упомянутых отношений. Не было никаких оснований оспаривать божественную нумерологию – для последователей Пифагора все сущее было числом, и все сущее было совершенно.
Но даже самая красивая теория может рухнуть под натиском безобразной реальности. Опровержение пифагорейской философии явилось не от внешних врагов, а от верного ученика. О жизни Гиппаса из Метапонта известно очень мало, но имеющиеся скудные сведения заставляют думать, что это был преданный пифагореец, который даже в мыслях не допускал возможность оспаривать очевидность рациональности.
Существуют разные версии рассказа о том, как именно он нанес серьезную рану пифагорейской философии, но чаще всего цитируют работу Гиппаса о квадратном корне из 2. Это число имело особую важность для Пифагора. Рассмотрим единичный квадрат, длина каждой стороны которого равна 1. Согласно знаменитой теореме, длина диагонали этого квадрата равна в точности √2. Это значение имело для Пифагора особую важность, ибо, хотя приблизительное значение составляло 1,414, вывод точного мистического соотношения был не очевиден. Несомненно, пифагорейцы очень старались вывести такое рациональное значение: 99/70 отличается от истинного ответа меньше, чем на 1/10000. Дробь 665857/470832 дает еще большее приближение, отличающееся от истинной величины не более чем на одну триллионную долю. Но простого приближения было недостаточно; надо было получить точное, единственное соотношение, чтобы подтвердить правильность веры. Однако решение в руки не давалось. Воспользовавшись красивой аргументацией, Гиппас представил беспощадное и краткое доказательство того, что поиск точного отношения – абсолютно бесплодная затея. Первым делом Гиппас предположил, что такая несократимая дробь существует, то есть, √2 = P/Q.
Следующим шагом стало избавление от корня, и так как действие в одной части уравнения требует выполнения такого же действия в другой части для сохранения равносильности, Гиппас возвел в квадрат обе части уравнения и после перестановки получил следующее уравнение: 2Q2 = P2. На первый взгляд это уравнение мало помогает делу, но Гиппас заметил то, что – в силу своей тривиальности – прежде игнорировалось: P2 ровно в два раза больше, чем Q2. Но P2 может быть четным числом только в том случае, если четным числом является P, а значит, его можно обозначить как 2К. Но вернувшись к нашей предыдущей записи, мы получаем 2Q2 = (2K)2 = 4K2 и, таким образом, можем утверждать, что Q2 = 2K2. Снова использовав тот же довод, мы можем утверждать, что Q, по необходимости, является четным числом. Но этого не может быть, так как мы уже определили, что дробь P/Q является несократимой, а отношение двух четных чисел всегда является сократимой дробью. Следовательно, мы пришли к неразрешимому противоречию. Это был поразительный вывод: просто предположив, что совершенное соотношение существует, Гиппас показал, что это допущение приводит к абсурду.
