6.Одно из решений на рисунке:
7. Два решения показаны на рисунке. Причем второе решение позволяет получить все числа от 1 до 29, то есть оно лучше, чем требовалось по условию.
8. Вы, наверное, даже удивились, когда прочитали задание: зачем давать опять такое простое? А оказалось всё не так просто. Отбросив 7 костей, содержащих число 6, мы вместе с тем уменьшили количество костей с каждым числом очков на единицу. Теперь каждое число встречается только семь раз. Нечетное число пары не образует и цепь сложить невозможно!
Осознанное мышление начинается тогда, когда перед человеком встает вопрос, на который необходимо найти ответ. Сложный и многогранный процесс мышления можно разбить на ряд более простых операций. Самые главные из них: сравнение, анализ, синтез, абстрагирование, конкретизация, обобщение, классификация. Рассмотрим по порядку каждую из перечисленных мыслительных операций. Вполне наглядно их можно выделить, продолжив наше знакомство с домино.
Сравнение. В детском домино с картинками ребенок сравнивает нарисованные образы, учится оперировать понятиями «разное» и «одинаковое». Играя в стандартное домино с очками, мы постоянно сравниваем очки на имеющихся у нас косточках, с очками на концах выложенной цепи. Если есть две кости, которые можно выложить в данный момент игры, выбираем лучший вариант, сравнивая суммы очков на них. Выполняя ранее приведенные упражнения, приходилось постоянно сравнивать очки на отдельных косточках, суммы очков в группах по четыре, по семь косточек, используя сравнительные понятия «равно», «больше», «меньше».
Анализ – это мысленное расчленение целого на составные части. Игра домино состоит из 28 косточек, каждая из которых представляет собой прямоугольник, разделенный на два квадрата. На половинках кости проставлены точками очки: от нуля до шести во всех различных взаимных комбинациях. Каждое значение очков встречается восемь раз. Из всех косточек особо следует выделить дубли, те кости, на обеих половинках которых стоит одно и то же число очков. Дублей в комплекте 7 штук. Приведенные рассуждения демонстрируют анализ комплекта для игры, расчленение его на отдельные кости, выделение особенностей. Решая второе упражнение, мы проводили именно такой анализ: мысленно разбивая цепь на отдельные кости, искали закономерность в распределении очков на концах цепи. Анализ – операция неисчерпаемая, углубляясь в детали, человек познает что-то новое. Если бы не третье упражнение, разве знали бы вы, что общее число очков в комплекте домино совпадает с числом часов в неделе и с числом месяцев, содержащихся в 14 годах. Стоило задержаться на этой задаче подольше, и вскрылись бы какие-то новые, скорее всего интересные, факты и особенности.
Синтез – операция противоположная анализу, это соединение частей в целое. Синтез и анализ – взаимосвязанные операции. Невозможно заниматься одной из них, не занимаясь другой. Упражнения, в которых требовалось выложить целую цепь, а потом разделить ее на части с равной суммой очков, тому наглядное подтверждение.
Абстрагирование более сложная операция, означающая мысленное отделение какого-либо признака, свойства от самого предмета. Основная идея игры домино – построение цепи из отдельных косточек, прикладывая их друг к другу одинаковыми значениями очков. Отделим эту идею от конкретного предмета – прямоугольной кости домино. Почему бы ни сделать кость в виде равностороннего треугольника, разделенного на три части, или квадрата, разделенного на четыре части, или шестиугольника, разделенного на шесть частей. Получатся совершенно новые игры. Можно абстрагироваться от числа очков на каждой части фигуры и заменить их, например, разноцветной окраской.
В этих новых играх будет выкладываться не цепь, а какая-то плоская фигура, но идея прикладывания косточек друг к другу одинаковыми частями сохранится. Интересно провести расчеты количества косточек в таких играх в зависимости от формы кости и количества цветов окраски. К примеру, игра «цветные квадраты» с тремя цветами окраски будет состоять из 24 различных квадратов. Абстрагирование выводит на создание новых объектов или использование уже известного в нестандартной форме, нестандартной ситуации. Это творческая мыслительная операция.
Обобщение – это выделение общего признака у большого количества предметов и сведение их в общую группу. Кости домино с одинаковым количеством очков на обеих половинках объединены понятием «дубли». У всех цепочек, выложенных из полного комплекта домино, есть общее свойство: на концах цепи стоят половинки с одинаковым количеством очков. Это примеры обобщений. В дальнейшем мы специально рассмотрим различные обобщения и расширения игры домино, основанные на выходе из привычных рамок в плоскость или в пространство.
Операция противоположная абстрагированию и обобщению называется конкретизация. При ее выполнении какой-то абстрактный признак соотносят с конкретным предметом. Математическое понятие обыкновенной дроби можно отнести к косточкам домино, рассматривая их как дробь, в которой одна половинка – это числитель, а другая – знаменатель дроби, а между ними дробная черта. Такая конкретизация позволяет придумать много интересных арифметических примеров с косточками домино
Классификация – это распределение объектов изучения по нескольким группам в соответствии с каким-либо признаком. Различают классификацию естественную, в основе которой лежат существенные признаки объектов. Примером естественной классификации может служить Периодическая система химических элементов. Другая разновидность классификации – искусственная классификация, проводимая на основе несущественных, косвенных признаков. Например, распределение объектов по алфавиту, по возрастанию номеров. Классификацию часто называют систематизацией, то есть наведением определенного порядка в некотором множестве элементов на основе каких-то признаков, объединение группы объектов в целостную систему, рассматриваемую как нечто единое. Эти два понятия иногда трудно различить. Так систематика животного и растительного мира проводится на основе существенных признаков и в принципе ее можно назвать классификацией. Тонкое различие между этими понятиями в том, что классификация предполагает только разбиение объектов на группы, а систематизация продолжает работу уже с группами и понимается как упорядочение этих групп в линейный ряд, таблицу и так далее. Все мыслительные операции тесно взаимосвязаны и в естественном процессе мышления переплетаются и взаимодействуют.
Для тренировки проведем классификацию косточек домино в зависимости от суммы очков на них. Кости распределятся на группы от нулевой суммы до, максимально возможной, равной 12. Количество косточек в группах меняется от одной до четырех.
Проводя классификацию по сумме очков на отдельной кости домино, мы естественно сравнивали эти суммы. Анализируя далее, приходим к выводу, что костей с суммой очков равной шести больше, чем с другими суммами, а косточек с четной суммой очков больше, чем с нечетной. Мы взяли конкретный признак (конкретизация), распределили по нему кости (классификация), упорядочили группы по возрастанию суммы (сравнение и систематизация), увидели в этом распределении некоторые особенности (анализ), сделали вывод (обобщение). В повседневной жизни человек не задумывается, какую мыслительную операцию ему применить, это происходит интуитивно, но чтобы применять их успешно, нужны понимание происходящих процессов и постоянная тренировка. Решение различных головоломок дает такую тренировку нашему мозгу, поэтому не ленитесь, занимайтесь гимнастикой ума.
