Сохранилось более трехсот клинописных табличек этого типа. Многие из них повреждены, другие разбиты на фрагменты, хранящиеся раздельно в музеях разных стран. Сегодня их принято делить на «процедурные тексты» (в которых содержится разъяснение методов расчета) и «эфемериды» (где приведены результаты вычислений для заданного периода времени, подобно тому как это делается в современном «Морском астрономическом ежегоднике»). Количественно эфемериды (в переводе с греческого это слово означает просто «годный на день») в три раза превышают процедурные тексты. Все они были найдены в Вавилоне (при раскопках в 1870–1890 гг.) и Уруке (при раскопках в 1910–1914 гг.), так что даже сегодня мы можем не до конца отдавать себе отчет в том, каковы все достижения этих людей.

Стремление решить проблему Луны, вполне возможно, привело к обнаружению аналогичных решений для планет. Сколько дней в одном месяце? Вавилонский месяц начинался с первого появления тонкого лунного серпа после захода Солнца. Отсчет дней велся также, начиная с вечера. При таком способе определения месяц содержал целое количество дней и, как показывает опыт, их число равно либо 29, либо 30. Но какому из них отдать предпочтение? Сегодня у нас есть общая картина явления – модель, в отношении которой мы можем применить стандартные геометрические процедуры и получить ответ. И даже сегодня это не так уж просто сделать. Не имея предшественников, способных снабдить их такой моделью, вавилоняне должны были действовать в обратном порядке. Для начала попробуем оценить наиболее очевидные трудности, с которыми они столкнулись, путем демонстрации того, как мы сами могли бы провести подобный анализ сегодня.

Начнем с грубого оценочного предположения, что продолжительность месяца равна в точности 30 дням. Солнце движется по зодиаку со скоростью примерно 1˚ в сутки, поэтому от одного до другого соединения с Луной оно пройдет 30˚. Если считать по соединениям, то более быстро движущаяся Луна должна будет пройти 390˚, то есть двигаться со скоростью 13˚ в сутки в течение 30-дневного периода. (Более точное среднее значение этого числа составляет 13,176˚, но скорость Луны может заметно меняться.) Однако для предсказания времени первого появления лунного серпа необходимо принять во внимание несколько факторов:

1. Поскольку Солнце обладает высокой яркостью, то два светила должны находиться на заданном минимальном расстоянии друг от друга, иначе лунный серп будет неразличим.

2. Время, за которое Луна преодолеет это расстояние, зависит от относительной скорости Луны и Солнца. Среднее значение относительной скорости равно примерно 12˚ в сутки, однако эта «суточная элонгация» может варьироваться в пределах двух-трех градусов в ту или другую сторону.

3. Критическое расстояние зависит от яркости фона неба, а она в свою очередь зависит от угла между горизонтом и линией, соединяющей заходящее Солнце и лунный серп (см. ил. 31). Это, в свою очередь, определяется несколькими факторами: а) временем года, которое есть не что иное, как другой способ определения положения Солнца на «эклиптике» – годовом пути Солнца, проходящем через середину пояса зодиака; b) отклонением Луны от этого пути, ее «эклиптической широтой», достигающей 5˚; и c) географическим положением наблюдателя (широтой), определяющей углы пересечения звездами горизонта при восходе и заходе.

Вот, вкратце, описание процедуры, которой мы, вероятно, должны следовать. Самое удивительное заключается в том, что вавилоняне умели каким-то образом определять многие факторы, анализируя свои наблюдения в начале месяца. Они проделывали это, используя только арифметические методы, то есть не прибегая к геометрическим моделям, и если мы воспроизводим здесь их результаты в графической форме, то только потому, что это экономит нам время. (Для получения полного представления о том, как это делалось на самом деле, нужно познакомиться с работой Отто Нейгебауера «Astronomical Cuneiform Texts», где содержится соответствующий расшифрованный и проанализированный материал.)

31

Первое наблюдение лунного серпа. Солнце находится ниже западного горизонта, линия его спуска не показана. (Она не совпадает с эклиптикой и определяется вращением неба вокруг Полюса мира.) Луна может находиться в пределах чуть более 5° в ту или другую сторону от эклиптики.

Известны две основные системы, посредством которых осуществлялось представление различных солнечных, лунных и планетных движений. В первой, называемой «Системой А», предполагалось, что на достаточно большом участке зодиака скорость (например, Солнца) остается постоянной величиной с каким-либо определенным значением, затем происходит изменение значения, и оно снова считается постоянным в течение достаточно продолжительного промежутка времени до момента следующего изменения и т. д. Возникает потребность в правилах перехода. Если представить зависимость скорости от времени графически, то получим кривую, напоминающую по внешнему виду зубчатую стену крепости с бойницами (в общем случае – нерегулярную), которую часто называют «зигзагообразной функцией». «Система Б», на первый взгляд, выглядит более сложно. В ней предполагается, что каждая строка в таблице положений (или чего-либо другого) отличается от предыдущей, но разница образует постоянное положительное либо отрицательное число, исключая те случаи, когда возникает значение, заведомо выходящее за пределы максимума или минимума. Если это случается, направление изменений (увеличение или уменьшение) меняется на противоположное. Если мы построим график по этой таблице значений, он будет иметь неровную пилообразную форму зигзагообразной функции. Система А, как было установлено на практике, является более гибкой, поскольку может быть легко использована с любым количеством шагов различной длины, а это делает ее более точной по сравнению с жесткой конфигурацией Системы Б.

Перемена направлений в зигзагообразных функциях производится в соответствии со строгими правилами, которые легче всего объяснить с помощью ил. 32. На этом рисунке изображен график, построенный по эфемеридам, составленным на 179 г. эры Селевкидов (133–132 гг. до н. э.). По горизонтальной шкале отложена последовательность месяцев (как они тогда понимались), их названия перечислены в первом столбце таблички. Они, как выяснилось, маркируют дни, когда происходило соединение Солнца с Луной. Вертикальная шкала соответствует второй колонке таблички, содержащей шестидесятеричные числа, равные по порядку величины 28 или 29. Следующая колонка таблицы, не отображенная на графике, может быть интерпретирована как перечисление долгот Солнца и Луны в моменты их соединений. Смысл чисел, записанных во второй колонке, стал понятен только после того, как их проанализировали современные ученые. Поскольку оказалось, что вторая колонка содержит разности между соседними записями в третьей колонке, она (вторая колонка), очевидно, должна содержать, как мы сказали бы сейчас, скорости Солнца (изменение долготы в течение месяца). Пользуясь графическим способом объяснения чисто арифметических величин, мы можем сказать: зигзаги, построенные с помощью прямых линий, возникли как аппроксимация вавилонянами определенного процесса, для отображения которого нам сегодня понадобилась бы по меньшей мере синусоида. И все же это было их выдающимся достижением.

Можно легко посчитать период зигзагообразной функции в месяцах. На ил. 32 он записан в виде числа 12;22,08,53,20. Это значение соответствует продолжительности года, измеряемой в синодических месяцах. Его получили, очевидно, не прямыми наблюдениями, а с помощью одного из циклических соотношений, о которых мы упоминали ранее. Похоже, в данном случае использовалось равенство: 810 лет = 10 019 месяцев. Конечно, для выведения этих уравнений необходимо было проводить наблюдения, но поиск правильных числовых соотношений также играл свою роль. К сожалению, нам известны только итоговые результаты этих расчетов.