Различные замечания. Мы можем поставить перед собой несколько важных вопросов:

1. Исчерпывается ли творческое могущество разума созданием математической непрерывности?

Нет: труды Дюбуа-Реймона служат поразительным доказательством этого.

Известно, что математики различают бесконечно малые разных порядков, так что бесконечно малые второго порядка не только бесконечно малы в абсолютном смысле, но еще и являются таковыми по отношению к бесконечно малым первого порядка. Нетрудно представить себе бесконечно малые дробного и даже иррационального порядка, и, таким образом, мы снова находим ту последовательность математической непрерывности, которой посвящены предшествующие страницы. Более того: существуют такие бесконечно малые величины, которые бесконечно малы по отношению к бесконечно малым первого порядка и, напротив, бесконечно велики по отношению к бесконечно малым порядка 1 + ε, как бы ни было мало ε. Итак, вот еще новые члены, разместившиеся в нашем ряду; и если мне будет позволено вернуться к терминологии, которой я недавно держался и которая является достаточно удобной, хотя еще и не используется широко, я скажу, что этим создан вид непрерывности третьего порядка.

Легко было бы идти дальше, но это было бы бесполезной игрой ума; пришлось бы воображать себе одни символы без возможности их применения; на это никто не отважится. Даже непрерывность третьего порядка, к которой приводит рассмотрение различных порядков бесконечно малых, сама по себе является слишком мало полезной, чтобы приобрести право быть упоминаемой, и геометры рассматривают ее только просто как курьез. Разум пользуется своей творческой силой только тогда, когда опыт принуждает его к этому.

2. Раз мы обладаем понятием математической непрерывности, гарантированы ли мы от противоречий, аналогичных тем, которые положили начало этому понятию?

Нет; и я сейчас дам этому пример.

Надо быть очень сведущим, чтобы не считать очевидным, что каждая кривая имеет касательную: и в самом деле, если представлять себе эту кривую и некоторую прямую как две узкие полосы, то всегда можно расположить их так, что они будут иметь общую часть, не пересекаясь. Теперь вообразим себе, что ширина этих двух полос бесконечно уменьшается; существование их общей части будет всегда возможным, и в пределе, так сказать, две линии будут иметь общую точку, не пересекаясь, т. е. они будут взаимно касаться друг друга.

Геометр, рассуждающий таким образом, сделал бы – сознательно или нет – то же самое, что мы сделали раньше, желая доказать, что две пересекающиеся линии имеют общую точку; и его интуиция могла бы показаться такой же законной.

Между тем она его обманула бы. Можно доказать, что существуют кривые, не имеющие касательных, если эта кривая определена как аналитическая непрерывность второго порядка.

Несомненно, какая-нибудь уловка, аналогичная ранее изученным нами, позволила бы устранить противоречие, но так как оно встречается только в весьма исключительных случаях, то им и не занимаются. Вместо того чтобы стараться примирить интуицию с анализом, удовольствовались тем, что пожертвовали одним из двух; и так как анализ должен остаться непогрешимым, то всю вину отнесли на счет интуиции.

Физическая непрерывность нескольких измерений. Выше я исследовал физическую непрерывность такою, какой она вытекает из непосредственных данных наших чувств или, если угодно, из прямых результатов опытов Фехнера; я показал, что эти результаты резюмируются противоречивыми формулами

Посмотрим теперь, как это понятие было обобщено и как оказалось возможным вывести из него понятие непрерывностей многих измерений.

Рассмотрим две любые группы ощущений. Мы или будем в состоянии различить их, или нет, подобно тому как в опытах Фехнера вес в 10 граммов можно было отличить от веса в 12 граммов, но не от веса в 11 граммов. Ничего другого не нужно для построения непрерывности многих измерений.

Назовем элементом одну из этих групп ощущений. Это будет нечто аналогичное математической точке, однако не совсем то же самое. Мы не можем определить размеры нашего элемента, так как мы не умеем отличить его от соседних элементов, он как бы окутан туманом. Если бы можно было употребить астрономическое сравнение, наши «элементы» были бы подобны туманностям, между тем как математические точки уподоблялись бы звездам.

Если так, то система элементов образует непрерывность, раз есть возможность перейти от любого из них к какому угодно другому через ряд последовательных элементов – таких, что каждый из них не мог бы быть различен от предыдущего. Этот линейный ряд является по отношению к линии математика тем же, чем является изолированный элемент по отношению к точке.

Прежде чем идти дальше, я должен разъяснить, что такое купюра. Рассмотрим непрерывность С и возьмем у нее некоторые из ее элементов, которые на одно мгновение будем рассматривать не принадлежащими больше к этой непрерывности. Совокупность элементов, взятых таким образом, будет называться купюрой. Может статься, что вследствие этой операции С окажется подразделенной на несколько отдельных непрерывностей, так как совокупность остающихся элементов не будет более составлять единую непрерывность.

Тогда у С найдутся два элемента A и В, которые необходимо будет считать принадлежащими двум различным непрерывностям; мы узнаем это потому, что нельзя будет найти в С линейный ряд последовательных элементов (каждый из этих элементов не может отличаться от предыдущего; за первый возьмем A, а за последний В), если хоть один из элементов этого ряда не будет неотличим от одного из элементов купюры.

Может, напротив, случиться, что реализация купюры будет недостаточна для подразделения непрерывности С. В целях классификации физических непрерывностей мы должны исследовать, каковы должны быть купюры, которые необходимы для подразделения непрерывности.

Если физическую непрерывность С можно подразделить, реализуя купюру, состоящую из конечного числа различимых один от другого элементов (и не образующую ни одной непрерывности, ни нескольких непрерывностей), то мы скажем, что С есть непрерывность одного измерения.

Если, напротив, можно подразделить С только при помощи купюр, которые сами представляют собой непрерывности, то мы скажем, что С – непрерывность нескольких измерений. Если это достигается купюрами, которые являются непрерывностями одного измерения, то мы скажем, что С имеет два измерения; если достаточно купюр, имеющих два измерения, то мы скажем, что С имеет три измерения, и т. д.

Таким образом, понятие физической непрерывности многих измерений оказывается определенным благодаря тому весьма простому факту, что две группы ощущений могут быть различимыми или же неразличимыми.

Математическая непрерывность нескольких измерений. Понятие математической непрерывности n измерений вытекает отсюда совершенно естественно при помощи процесса, вполне подобного тому, который мы изучили в начале этой главы. Точка подобной непрерывности, как известно, представляется нам определенной при помощи системы n различных величин, называемых ее координатами.

Не всегда необходимо, чтобы величины эти были измеримыми. В геометрии имеется целая отрасль, в которой отвлекаются от измерения этих величин; в ней занимаются, например, только изучением вопроса, лежит ли точка В на кривой АВС между точками A и С, и не стараются узнать, равна ли дуга АВ дуге ВС, или она в два раза больше ее. Это – так называемый Analysis Situs.

В этом вся сущность учения, привлекшего к себе внимание величайших геометров, учения, из которого вытекает ряд замечательных теорем. Эти теоремы отличаются от теорем обыкновенной геометрии тем, что они являются чисто качественными, и они остались бы справедливыми, если бы фигуры копировались искусным чертежником, который грубо нарушал бы их пропорции и заменял бы прямые линии более или менее искривленными.