Пифагорейцы строят свою музыкальную теорию на опытных фактах, которые, однако, оказываются лишь материалом для глубоких теоретических (прежде всего математических) исследований. Исходное наблюдение состоит, по-видимому, в том, что звуки (например звуки, извлекаемые с помощью музыкальных инструментов) имеют разную высоту[36]. Например, зажимая натянутую струну в разных местах, мы можем делать ее звучание более высоким и более низким. Взяв два звука разной высоты, мы, по крайней мере теоретически, можем найти звук промежуточной высоты, т. е. выше более низкого, но ниже более высокого. Так можно сделать для любой пары различных по высоте звуков. Следовательно, можно представить себе непрерывную шкалу высот: любая пара звуков заключает внутри себя бесконечный интервал звучаний. Хотя наше ухо не может уловить различия между звуками, достаточно близкими по высоте, но теоретически мы в состоянии вообразить, что звуки могут приближаться друг к другу по высоте сколь угодно близко, сохраняя, однако, различие. Таким образом, каждый звук есть точка, извлеченная из континуума различающихся по высоте звуков.

Такое представление уже указывает на соединение предела и беспредельного. Континуум звуков беспределен. Однако, извлекая отдельные звуки на музыкальном инструменте, мы находим на этом континууме определенные точки, выделяем в нем некоторые интервалы, т. е. задаем границы, пределы. Представим себе, например, восьмиструнную греческую лиру. Две крайние струны, издающие самый высокий и самый низкий для этого инструмента звук, как бы вычленяют определенный интервал из беспредельного множества звуков, неограниченного по высоте ни сверху, ни снизу. Однако заданный двумя струнами интервал также беспределен. Он хотя и ограничен сверху и снизу, но безгранично делим и содержит бесконечно много звуков. Другие струны лиры задают целую систему границ, устанавливая новые пределы, упорядочивая континуум звучаний. Рассмотрим подробнее, как осуществляется это упорядочение.

Приведем еще один эмпирический факт: существует интервал, такой, что разделяемые им звуки звучат как будто одинаково, несмотря на различие в высоте, а при одновременном звучании сливаются в один голос. Такое звучание называют по-латыни консонанс. Именно так настраивались две крайние струны восьмиструнной лиры, а потому и интервал получил впоследствии название октава.

В пределах октавы выделяется еще два консонансных интервала, получивших названия квинта и кварта. Разделяемые ими голоса также сливаются в один, но не так точно и совершенно, как в октаве. При этом квинта звучит все же более согласованно, чем кварта.

Три консонансных интервала определенным образом организуют звуковой континуум. Чтобы увидеть это, представим три голоса – обозначим их А, С, D. Пусть интервал между А и D составляет октаву, а между А и С – квинту. Все три голоса будут создавать консонанс. При этом оказывается (также эмпирический факт), что интервал между С и D составляет кварту. Оказывается, таким образом, что октава представляет собой сумму двух других консонансных интервалов. Взяв далее еще один звук – В – образующий с А кварту, мы установим в пределах октавы некоторую систему интервалов. Звук В отличается от D на квинту. Октава оказывается разделена на последовательность интервалов четырьмя голосами: А, В, С, D. Интервалы между этими голосами графически изображены на рис. 1.

Обратим внимание на интервал ВС. Он образует как бы недостающую часть, которую надо добавить к двум квартам, чтобы получилась октава. Он же составляет разницу между квартой и квинтой. Этот интервал называется тон. Хотя сам он не дает никакого созвучия, ему можно приписать весьма важную роль. Он составляет меру для всех музыкальных интервалов. Любой воспроизводимый в музыке интервал составлен из тонов (в некоторых случаях из полутонов).

Рис. 1. Схема соотношений интервалов звука

Таким образом, в беспредельный континуум звуков внесены не только границы, но и внутренняя соразмерность. Возникает возможность точного числового соотнесения интервалов. Более того, консонансные интервалы представлены как соразмерные части организованного целого. Однако эта организация еще не вполне прояснена. Слишком много в ней основывается на чувственном восприятии, на способности человека различать и соотносить звуки. Ясно, что эта способность у всех различна, а отношения, основанные на таком восприятии, не могут быть точными. Пифагорейцы постарались найти для своих исследований более надежную опору, что и привело к исследованию музыкальной гармонии.

Главным открытием пифагорейцев в теории музыки следует считать то, что они сумели свести звуковые интервалы к отношениям длин, т. е. весьма точно измеряемых величин. Эти отношения собственно и получили названия гармоний.

Сохраним те обозначения, которые мы только что использовали, только теперь буквами А, В, С, D будем обозначать не сами звуки, а длины струн, которые эти звуки производят. Пифагорейцам принадлежит следующее открытие.

Октава соответствует отношению 1:2, т. е., если звук D на октаву выше А, то струна D в два раза короче струны А.

Соответственно отношения длин струн А к В составляет 4:3 (кварта).

Отношение А к С составляет 3:2 (квинта).

Иными словами, каждый консонансный интервал определяется числовым отношением. Присмотримся к этим

отношениям внимательнее. Чтобы лучше описать их свойства, разделим А на 12 равных частей. В таком случае двенадцатая часть А окажется единицей измерения, т. е. общей мерой для всех остальных струн. Легко видеть, что при измерении этой единицей А=12; В = 9; С = 8; D=6. Получается, что отношение С к D составляет 4:3, а отношение В к D – 3:2, что, как и следовало ожидать, соответствует кварте и квинте.

Легко видеть, кроме того, что один тон определяется отношением В к С, т. е. 9:8. Это значит, что можно строить и другие звуковые интервалы. Выбрав тон в качестве меры для интервала звучаний, можно подобрать требуемые отношения длин для любого интервала в пределах октавы. При этом всякий раз будет сохраняться соразмерность длин. Правда использовать двенадцатую часть А (самой длинной струны) в качестве общей меры уже не удастся. Всякий раз нужно будет выбирать другую единицу измерения. Тот факт, что именно для трех консонансных интервалов существует общая мера, как будто говорит об их особой природе.

Итак, консонансные звучания определяются числовыми пропорциями. Эти пропорции пифагорейцы и назвали гармониями, т. е. скрепами. Именно они, по мысли Филолая, скрепляют предел и беспредельное. В самом деле, с помощью числовых отношений структурируется беспредельность континуума звуков, вносится порядок, определенность, устойчивость в то, что поначалу предстает как неопределенное, неуловимое. Существование числовых отношений, в свою очередь, определяется соизмеримостью, т. е. наличием общей меры. Величины, соответствующие звукам, измеряются одной и той же единицей, что и создает их особую связь друг с другом. Все они могут быть представлены как части, складывающиеся в некоторое целое: каждая из величин В, С или D составляет часть А, причем часть, соразмерную с целым[37].

Космология пифагорейцев построена на тех же основаниях, что и теория музыки. Впрочем, здесь, наряду с наблюдениями за движением светил, они прибегают и к весьма произвольным построениям, позволяющим им перенести на Космос те самые числовые гармонии, которые они открыли, исследуя музыку. Важно, что и в космологии речь идет о пределе и беспредельном и об их соединении с помощью числа.