На разностной машине можно рассчитать таблицу значений этой функции, но чтобы получить, скажем, ее значение при x=50, необходимо рассчитать все предыдущие значения. Бэбидж предлагает другой путь — аналитическое задание функции.

В нескольких работах Бэбидж высказывает мысль о возможности использования разностной машины для расчета функций, не имеющих постоянных разностей. Он пишет, что уже протабулировал некоторые из специальных функций. Среди них, например, функция, в которой третьи разности равны числу единиц первых разностей; может быть также рассчитана таблица, в которой третьи разности постоянны и меньше 1/10000 первых разностей.

Возможности разностной машины были достаточно широки. При использовании некоторых дополнительных несложных узлов машина могла извлекать корни из чисел. Точность результата могла быть тем выше, чем больше было счетных колес в машине, т. е. зависела только от ее конструкции.

Работать над созданием разностной машины Бэбидж начал вскоре после 1812 г. Разработка и постройка механической вычислительной машины представляла в то время сложную проблему. Многое из того, что было необходимо Бэбиджу, не существовало. Он должен был изобретать не только узлы и механизмы, но и в отдельных случаях — средства для их изготовления. Инженерную помощь получить было трудно и дорого, квалифицированных рабочих также было нелегко найти. Проблемой являлось и достижение требуемой точности обработки металла.

В 1819 г. Бэбидж встречается с секретарем Королевского общества Волластоном и обсуждает с ним вопросы, связанные с разностной машиной. Волластон одобрительно отозвался о работе Бэбиджа.

При всех сложностях Бэбидж сумел к 1822 г. построить небольшую действующую разностную машину (см. рис. 1). На этой машине Бэбидж рассчитал, например, таблицу квадратов.

Свои мысли о разностной машине Бэбидж изложил в записке, зачитанной на заседании Астрономического общества 14 июня 1822 г. и затем опубликованной под названием «Замечания о применении машины для расчета математических таблиц» [19]. Сообщение Бэбиджа было встречено с энтузиазмом, были даны самые высокие оценки проделанной работе и пожелания успехов проекту более мощной разностной машины. Впоследствии Бэбидж сделал описание разностной машины в письме к Д. Брюстеру, которое затем было опубликовано в,виде статьи под названием «О теоретических принципах машин для расчета таблиц» [21].

После окончания первой разностной машины Бэбидж был полон энтузиазма. Он считал, что основные трудности уже преодолены, и поэтому его дальнейшие планы были достаточно оптимистичны.

В 1822 г. Бэбидж обратился к президенту Королевского общества Дэви с письмом, в котором предлагал построить разностную машину значительно больших размеров, чем предыдущая, для расчета, в первую очередь, астрономических и навигационных таблиц. В своем письме, в частности, он упомянул о причинах, которые побудили его к работё над созданием вычислительных машин. «Невыносимая монотонная работа и усталость при непрерывном повторении простых арифметических действий сначала вызвали желание, а затем подсказали идею машины, которая с помощью силы тяжести или любой другой движущей силы должна была заменить человека в выполнении одной из самых медленных операций его ума» [85, с. 298]. Далее он пишет: «Буду ли я заниматься в дальнейшем конструированием разностной машины больших размеров, в значительной степени зависит от характера той поддержки, которую мне удастся получить. . . Я не сомневаюсь в успехе этой работы, однако этот успех не может быть достигнут без очень больших финансовых затрат» [85, с. 305]. Конин этого письма Бэбидж послал многим влиятельным знакомым.

Бэбидж обратился за помощью и в Королевское общество и в Астрономическое. Оба общества с энтузиазмом отозвались о новом проекте Бэбиджа. При содействии Королевского общества, которое официально подтвердило практическую осуществимость схемы машины, в 1823 г. между Бэбиджем и канцлером казначейства было заключено довольно расплывчатое соглашение, по которому правительство предоставляло деньги для работы над машиной и помощь в необходимых материалах, а Бэбидж обязан был через три года окончить разработку машины. В том же 1823 году Бэбидж приступил к работе над новой машиной.

Бэбидж считал, что на ее постройку должно уйти два- три года при затратах 3—5 тысяч фунтов стерлингов, причем в окончательном виде вес машины должен составить примерно две тонны. Для работы над этой машиной была выстроена мастерская, привлечены инженеры и чертежники.

13 июня 1823 г. Бэбидж был награжден первой золотой медалью Астрономического общества. В речи, произнесенной по случаю этого награждения, президент общества Г. Коулбрук высоко оценил значение машины Бэбиджа для астрономических расчетов: «Ни в одной области науки или техники это изобретение не может быть использовано так эффективно, как в астрономии и связанных с ней областях, а также в различных разделах техники, зависящих от них. Нет расчетов более трудоемких, чем те, которые зачастую нужны в астрономии; нет аппаратуры, более необходимой для первоначальной обработки данных; и нет ошибок, более приносящих ущерб. Практически астронома прерывают в его занятиях и отвлекают от наблюдений утомительной расчетной работой, в противном случае его старания в наблюдениях становятся неэффективными из-за необходимости дальнейших расчетов. Пусть помощь, которую приносят предварительно рассчитанные таблицы, будет неограниченно возрастать благодаря изобретению Бэбиджа, тогда более легкой станет наиболее утомительная часть труда астронома и исследованиям в астрономии будет дан дополнительный толчок» (цит. по: [85, с. 183]). Работа Бэбиджа «по размаху и результатам не похожа на что-либо выполненное ранее для помощи при проведении оперативных расчетов» [там же].

Несмотря на столь хорошее начало и оптимистические надежды, разностная машина не была изготовлена даже через десять лет, хотя на ее постройку было истрачено 17 тыс. фунтов стерлингов правительственных средств и 13 тыс. собственных средств Бэбиджа. В основном это произошло потому, что развитие техники того времени и, в частности, производство точных механизмов, нужных при изготовлении разностной машины, было на недостаточно высоком уровне. Бэбидж вынужден был часто сам конструировать и изготовлять такие механизмы. Кроме того, он все время вносил нескончаемые поправки в конструкцию машины. Следует иметь в виду, что Бэбидж был пионером, прокладывающим неведомые науке пути, и многие, вносимые в ходе работы изменения, были результатом творческих исканий, которые, в конечном итоге, способствовали развитию вычислительной техники.

Хотя Бэбидж никогда надолго не отвлекался от работы над вычислительными машинами, он успевал делать очень много в самых различных областях, одни из которых были близко связаны с его основной работой, другие — далеки от нее. Размышляя над созданием вычислительных машин, Бэбидж много работал и над различными математическими таблицами. Наряду со стремлением сделать их точными, он старался, чтобы они были легкими и удобными в обращении. В 1826 г. Бэбидж опубликовал вычисленные им таблицы логарифмов от 1 до 108000 [34], в которых большое внимание уделил удобству пользования. Эти таблицы были высоко оценены математиками и неоднократно переиздавались как в Англии, так и за рубежом с подробным предисловием Бэбиджа.

В 1831 г., пытаясь определить, какими таблицами легче и удобнее пользоваться, он напечатал один экземпляр своих таблиц логарифмов на 151 листе, на бумаге различного цвета [42]. Было использовано 10 цветов: светло- и темно-синий, светло- и темно-зеленый, оливковый, желтый, светло- и темно-красный, фиолетовый и черный. Помимо обычной краски при печатании пользовались золотой, серебряной и медной. Кроме того, использовалась бумага различной толщины, также калька, восковая бумага, пергамент. Полностью таблицы заняли 21 том. Ё настоящее время они находятся в Кроуфордской библиотеке Королевской обсерватории в Эдинбурге. Эта работа сохраняет интерес и до нашего времени.