До того как Бозе опубликовал свою основополагающую статью о фотонах, а Эйнштейн обобщил его идею на случай идеальных газов, многие физики совершенно не понимали, какие факторы следует включать в выражение для энтропии квантовых систем. Хорошо известное уравнение для энтропии содержало сомнительный поправочный коэффициент, природу которого никто до Бозе не мог полностью объяснить. Поправочный коэффициент был добавлен, чтобы исправить проблемы с применением формулы Больцмана к квантовым газам. Но не все считали его обоснованным. В 1924 году Шрёдингер опубликовал статью, в которой не учел поправочный коэффициент, что привело к ошибочному выражению для энтропии.

Новаторские методы Эйнштейна, встреча с ним в Инсбруке и их последующая переписка стали для Шрёдингера настоящим откровением. Благодаря идеям Эйнштейна Шрёдингер стал мыслить о квантовой статистике по-новому, отказавшись от ошибочного классического представления, что перестановка частиц всегда дает различные микросостояния, хотя на это ушло некоторое время. Сначала Шрёдингер думал, что Эйнштейн, должно быть, допустил ошибку в своих расчетах, потому что они не согласовывались с методами Больцмана. В своем первом письме Эйнштейну, в феврале 1925 года, он указал на возможную ошибку. Эйнштейн терпеливо ответил, объяснив идею Бозе, согласно которой фотоны могут занимать одинаковые квантовые состояния. Шрёдингер пересмотрел определение энтропии на основе новых представлений о статистике и представил свою работу Прусской академии наук в июле 1925 года.

Теоретик не может предвидеть, какая часть его научной статьи окажется наиболее интересной. Иногда даже вскользь упомянутая мысль может пришпорить воображение и положить начало целому циклу плодотворных идей. Ссылка на работу де Бройля в одной из статей Эйнштейна о квантовой статистике вдохновила Шрёдингера на величайшее открытие в науке — уравнение волновой механики. Как отметил физик Питер Фройнд, «без ссылки Эйнштейна на работу де Бройля уравнение Шрёдингера, возможно, было бы выведено намного позже»^{58}.

Кажется, будто частица и волна — две совсем разные вещи. Одна локализована, а другая распределена в пространстве. Одна отскакивает от стен, а другая огибает углы. Одна вроде бы является крошечной частью материи, а другая представляется как рябь в пространстве. Что у них может быть общего?

Фотоны, как показал Эйнштейн, представляют собой гибрид волны и частицы. Как и частицы, фотоны переносят порции энергии и импульса, которые могут передавать при столкновениях. Как волны, они имеют узлы и пучности, которые могут образовывать полосатые изображения, называемые интерференционными картинами.

В 1924 году в своей докторской диссертации, основанной на расчетах, выполненных годом ранее, де Бройль творчески применил дуальное описание ко всей материи. Он предположил, что не только фотоны, но и все другие частицы обладают как корпускулярными, так и волновыми свойствами. В частности, электрону сопоставляется длина волны, равная постоянной Планка, деленной на его импульс.

Красота концепции де Бройля заключается в том, что она естественным образом приводит к боровским правилам квантования момента импульса (и к их обобщениям, которые называются правилами квантования Бора — Зоммерфельда). Это было ключом к описанию стабильных орбит электронов в атоме. Де Бройль представлял орбиту электрона в атоме чем-то наподобие вибрирующей гитарной струны, только закольцованной вокруг ядра. Также как натянутая струна может вибрировать в разных тональностях, с разным количеством узлов и пучностей, электронная волна в атоме может колебаться с различными длинами волн. Поскольку импульс в формуле де Бройля обратно пропорционален длине волны, а момент импульса — это импульс, умноженный на радиус, то формула приводит к правилу, в соответствии с которым момент импульса может принимать только дискретные значения. Таким образом, простые вычисления приводят к необходимым ограничениям на орбиты электронов, которые Бор не мог адекватно объяснить сам, но которые были критически важны для его теории.

В одной из своих статей по квантовой статистике одноатомных газов Эйнштейн обратился к идее де Бройля о волнах материи как к возможному объяснению, почему в газах при низких температурах атомы двигаются как бы в унисон, тем самым становясь более упорядоченной системой и уменьшая энтропию. Идея, что атомы, как и фотоны, могут вести себя подобно волнам, выстроила существенную связь между одноатомным газом Эйнштейна и фотонным газом Бозе, на модели которого Эйнштейн основывал свою теорию. Эйнштейн также хвалил де Бройля за инновационное решение проблемы квантования момента импульса, которая была слабым местом боровской модели.

Когда Шрёдингер внимательно прочел статью Эйнштейна и увидел ссылку на диссертацию де Бройля, он тут же захотел ознакомиться с ней. Забавно, но он, похоже, не понимал, что ее основные результаты уже опубликованы и доступны в библиотеке Университета Цюриха, прямо у него под носом. Вместо этого он написал в Париж и попросил выслать саму диссертацию. Увлечение Шопенгауэром и Спинозой подготовило его к поиску объединяющих принципов, поэтому Шрёдингер нашел идеи де Бройля об общих свойствах материи и света блестящими. Внезапно модель атома Бора — Зоммерфельда превратилась из ущербного аналога Солнечной системы в бьющееся сердце материи, пульсирующее в соответствии с природными закономерностями, которые определяли его свойства. 3 ноября 1925 года Шрёдингер написал Эйнштейну: «Несколько дней назад я с величайшим интересом прочел гениальную диссертацию Луи де Бройля, которую наконец-то раздобыл»^{59}.

Вдохновленный Дебаем, работавшим тогда в ЕТН, Шрёдингер организовал семинар по волнам материи де Бройля, на котором было убедительно показано революционное значение этой идеи. В конце обсуждения Дебай предложил Шрёдингеру заняться вопросом, уравнению какого типа могут подчиняться подобные волны и как можно описать их эволюцию во времени и в пространстве. Может ли, по аналогии с излучением электромагнитных волн, которое описывается уравнениями Максвелла, существовать механизм испускания волн материи, который бы соответствовал физическим ограничениям той или иной ситуации? Например, как будут вести себя электроны, помещенные в электромагнитное поле, которое создается протонами в атомных ядрах? Как они будут вести себя за пределами атомов при движении в пустом пространстве?

Следующие несколько месяцев Шрёдингер лихорадочно пытался найти правильное уравнение, которое описывало бы волны материи и объясняло поведение электронов в атомах. Наибольшую проблему для него в то время представляло внутреннее свойство электронов, называемое спином. Впервые описанный в 1926 году двумя студентами Эренфеста, Сэмюэлом Гаудсмитом и Джорджем Уленбеком, спин представляет собой квантовое число, которое характеризует поведение частицы во внешнем магнитном поле. Спин «вверх» означает, что частицы выстраиваются в одном направлении с полем, а спин «вниз» означает, что они располагаются в противоположном направлении. Многие типы частиц, включая электроны, обладают полуцелым спином, например ¹/₂, или -¹/₂.

Частицы с полуцелым спином не подчиняются статистике Бозе — Эйнштейна, потому что две такие частицы не могут находиться в одном квантовом состоянии. Скорее, как это покажет Паули, электроны и другие частицы с полуцелым спином должны подчиняться принципу запрета, гласящему, что каждая частица должна занимать свое собственное квантовое состояние. Частицы этого типа, называемые фермионами, не могут сбиваться в кучу, как музыкальные фанаты возле сцены. Вместо этого у каждой частицы есть свое собственное место.

Термин фермион происходит от названия статистики Ферми — Дирака, правильно описывающей коллективное поведение частиц с полуцелым спином. Названная в честь итальянского физика Энрико Ферми и английского физика Поля Дирака, каждый из которых внес свой вклад в теорию, она описывала распределение частиц по состояниям иначе, чем статистика Бозе — Эйнштейна. Впоследствии Дирак вывел правильное релятивистское уравнение, описывающее поведение фермионов, названное уравнением Дирака. Это потребовало нового типа обозначений с использованием комплексных чисел.