Таким образом, если мы хотим быть точными в измерении поля, то мы должны измерять его своеобразными способами. Имеем ли мы право заявлять, что мы измеряем поле, которое имелось бы в отсутствии этих пробных телец, довольно трудно судить. Нормально, когда мы измеряем что-нибудь, мы оставляем систему в неприкосновенности и быстро приносим измерительный прибор. Здесь мы не можем этого сделать, потому что поля электромагнитного излучения не остаются неизменными очень долго. Они распространяются со скоростью света, и поэтому, так как измеряющая аппаратура не может за ними угнаться она должна сохранить своё положение.

Аргументы Бора и Розенфельда основаны на фундаментальных законах квантовой теории электромагнитного поля вне зависимости от того, какого сорта малыми испытательными телами или частицами физик располагает на самом деле. Самые тяжёлые отдельные частицы, которые мы знаем в природе, имеют конечную массу, поэтому мы не можем получить систему испытательных тел, которая была бы сколь угодно тяжёлой, как это необходимо для таких воображаемых экспериментов. Разумеется, мы можем построить большой предмет из атомов так, что он будет сколь угодно тяжёлым, но он будет также протяжённым в пространстве и иметь внутренние степени свободы. Тогда различные атомы смогут совершать колебания относительно друг друга и создавать нарушающие радиационные эффекты, вызывающие дальнейшие осложнения.

На самом деле, мы можем идти очень далеко при измерении электрических полей, применяя электроны, потому, что электроны, как оказывается, не сильно подвержены действию всяких других агентов. Ещё лучшей частицей является μ-мезон, который в двести раз тяжелее электрона, и поэтому является лучшей пробной частицей. Насколько мы знаем, μ-мезон также не подвержен заметному действию чего либо другого, кроме электрических сил. Правда, он сам по себе живёт только две микросекунды, но это достаточно долго для подобных экспериментов!

Если нам нужно что-нибудь потяжелее, то мы должны обратиться к таким частицам, как протоны, которые очень сильно подвержены иным типам взаимодействий, например взаимодействию с другими нуклонами. Конечно, если протон достаточно сильно возмущён, то он может испускать мезоны и всякого рода другие новые частицы, известные теперь в физике. Следовательно, я думаю, что для такого рода измерений, которые мы обсуждаем, протоны были бы совершенно бесполезными. Очевидно, на практике существуют пределы, до которых можно распространить понятие поля, даже усреднённого по малой области. Это не противоречит работе Бора и Розенфельда, которые утверждают вполне определённо, что они просто исследуют то, что возможно в рамках квантовой электродинамики, не ограничиваясь возможностью существования (или чего-либо другого) различных частиц и других объектов.

На менее теоретическом уровне мы можем теперь отметить другой пункт по поводу сравнения, которое я раньше сделал между электромагнитным полем и волновым полем материи. Эта аналогия была исключительно полезна при разработке квантовой механики. Но она имеет свои ограничения, и она не так полна, как это часто принимают. Для электромагнитного поля существует классический предел, внутри которого все измеримо и нет нужды беспокоиться относительно принципа неопределённости, как, например, это имеет место в случае радиоволн. Для того чтобы увидеть, какую форму этот предел принимает, мы можем написать амплитуду какой-нибудь волны — или волновой функции ψ, или электрического вектора E скажем, в виде

E=a cos(kx-ωt-γ).

(10)

Затем, рассматривая такую волну, мы можем спросить, насколько точно мы может надеяться измерить фазу γ т.е. измерить, где находятся узлы и гребни волн в данный момент? Мы получаем такой результат, что если N — число фотонов, переносимых волной, пропорциональное a², то неопределённости δN и δγ в N и γ связаны соотношением

δNδγ ≥ 2π.

(11)

Значит, если мы вообще интересуемся фазой, мы должны знать её с точностью большей, чем 2π. Другими словами, мы должны иметь δγ ≪ 2π, так что SN ≫ 1. Это означает, что когда мы можем приписать волне классическое значение, мы должны иметь в значительной степени неопределённость относительно числа частиц, содержащихся в волне. Для света это всегда правильно, так как в основных процессах, при помощи которых свет взаимодействует с материей или с измеряющим прибором, фотоны всегда испускаются или поглощаются по одному. Поэтому если в окрестности имеется измеряющий прибор, число фотонов должно по необходимости быть неопределённым. Однако в случае электронов дело обстоит не так, потому что электроны несут заряд. Если бы присутствовали только электроны, то их число всегда было бы известно из полного заряда, который сохраняется. Мы можем создавать пару положительного и отрицательного электронов вместе, но тогда то, что мы измеряем, будет не фазой или волновой функцией одного из них, а фазой произведения двух волновых функций электрона и позитрона, а это — нечто совсем иное.

Следовательно, если частицы не могут быть поглощены или произведены сами по себе, у нас нет никакой надежды когда-либо приписать единственное значение фазе. С другой стороны, для того чтобы получить классическую ситуацию, нам нужно, чтобы неопределённость в фазе γ была мала сравнительно с 2π и в то же время, чтобы неопределённость в числе N была малой сравнительно со значением самого этого числа N. Другими словами, нам нужно удовлетворить обоим условиям

δγ ≪ 2π,

δN/N ≪ 1.

(2)

Из этих условий ясно следует, что N должно быть велико по сравнению с единицей, так что должно быть в наличии множество частиц или фотонов. Точнее, соответствующее число фотонов — это не все фотоны лаборатории, а только те, которые находятся во вполне определённом типе движения, например в специфической радиоволне, испускаемой передатчиком. В случае радиоволн затруднений не встречается; число фотонов всегда очень велико, поскольку энергия каждого из них на радиочастотах исключительно низка. С электронами, однако, этому условию нельзя удовлетворить, потому что электроны подчиняются принципу исключения, который требует, чтобы в каждом из возможных типов движения находилась только одна частица. Следовательно, нельзя иметь произвольно большое число частиц, переносимых волной материи, и нельзя получить классического описания таких волн.

Конечно, не следует считать простой случайностью то, что мы рассматриваем электромагнитное поле и фотоны, как волны, в то время, как электроны и другие тела мы считаем частицами. Существует область, в которой электромагнитное поле имеет идеально точное классическое значение и может быть представлено классическими уравнениями, символы которых соответствуют вполне определённым числам, которые могут быть записаны. Этого нельзя сделать с полем материи. Нельзя также получить описание в виде частиц для фотонов в области, где было бы справедливо классическое описание, так как там существует трудность в локализации фотонов. В то время, как можно спрашивать, где находится частица (фактически волновая функция и была придумана для того, чтобы позволить нам предсказывать возможные результаты экспериментов, запроектированных для локализации частицы), нельзя спрашивать, где находится фотон, кроме как в рамках геометрической оптики. Если ограничить все электромагнитное поле малой областью, то можно предположить, что правильно считать, что фотоны находятся где-то там, но нельзя более точно локализовать их, как это можно сделать в эксперименте с электронами. Это является следствием того факта, что фотоны имеют нулевую массу покоя и распространяются со скоростью света.

Такого же рода трудности возникают, когда электроны или другие частицы отыскиваются в релятивистской области. Если проектируется эксперимент, имеющий целью попытку локализовать их более точно, то принцип неопределённости требует такого мощного действия сил на них, что не только их момент изменяется на величину, указываемую принципом неопределённости, но кроме того, создаются пары новых частиц, и к тому времени, когда эксперимент заканчивается, уже не ясно, что мы искали.