Я считаю, что в настоящее время самым важным из методов, при помощи которых математик приносит своими работами наибольшую пользу исследователю природы, является систематическая классификация величин.
Величины, изучаемые нами в математике и в физике, можно классифицировать двумя различными способами.
Исследователь, желающий овладеть какой-либо наукой, должен освоиться с различными величинами, относящимися к этой науке. Поняв взаимную связь между этими величинами, он рассматривает их как единую систему и относит всю систему именно к этой науке. Это — наиболее естественная, с точки зрения физики, классификация, и обычно она является первой по времени.
Однако, ознакомившись с рядом различных наук, исследователь замечает, что математические процессы и ход рассуждения в разных науках так похожи один на другой, что знание им одной науки может стать чрезвычайно полезным подспорьем при изучении другой.
Вдумываясь в причины этого, он обнаруживает, что в двух различных науках он имеет дело с системами величин, в которых математическая форма связи одинакова, несмотря на то, что физическая природа их может быть совершенно различна.
Таким образом он приходит к классификации величин, основанной на новом принципе, согласно которому физическая природа величины подчинена её математической форме. Эта точка зрения характерна для математика, но по времени она следует за физической точкой зрения, так как человеческий разум может представить себе различные величины только в том случае, когда он получает их из природы.
Я не ссылаюсь здесь на тот факт, что все величины как таковые подчиняются арифметическим и алгебраическим правилам и поэтому могут быть подвергнуты тем сухим расчётам, которые, по мнению многих, составляют единственную основу их представления о математике.
Человеческий ум редко бывает удовлетворён и, конечно, не выполняет своей наивысшей функции, когда производит работу счётной машины. Учёный, математик ли он или физик, стремится составить себе и развить ясное представление о предметах, с которыми он имеет дело. Для этого он согласен проделать длинные вычисления и даже сделаться на некоторое время вычислительной машиной, если тем самым он сделает свои идеи в конечном счёте более ясными. Но если он видит, что ясные идеи нельзя получить с помощью процессов, этапы которых он, наверное, забудет, прежде чем придёт к заключению, то гораздо лучше будет, если он обратится к другому методу и попытается понять предмет исследования при помощи удачно выбранных иллюстраций, взятых из более близких ему областей.
Мы все знаем, насколько иллюстративный метод изложения популярнее, чем метод, в котором главное место занимают голые рассуждения и расчёты.
Истинно научный иллюстративный метод есть метод, который позволяет понять какое-либо представление или закон одной отрасли науки с помощью представления или закона, взятых из другой отрасли, и который, отвлекаясь вначале от различия физической природы реальных явлений, направляет мысль на овладение математической формой, общей соответствующим идеям в обеих науках.
Точность такого иллюстративного метода зависит от того, действительно ли аналогичны по форме обе сравниваемые системы идей или, другими словами, действительно ли соответствующие физические величины принадлежат к одному и тому же математическому классу. При соблюдении этого условия метод иллюстрации весьма удобен для лёгкого и приятного обучения науке; но, помимо того, признание формальной аналогии между двумя системами идей приводит к более глубокому познанию обеих, чем познание, которое можно было получить, изучая каждую систему в отдельности.
Есть люди, которые могут полностью понять любое, выраженное в символической форме сложное соотношение или закон как соотношение между абстрактными величинами. Такие люди иногда равнодушны к дальнейшему утверждению, что в природе действительно существуют величины, удовлетворяющие этим соотношениям. Мысленная картина конкретной реальности скорее мешает, чем помогает их рассуждениям.
Но большинство людей совершенно неспособны без длительной тренировки удерживать в уме невоплощенные символы чистой математики, так что если наука должна когда-нибудь стать общедоступной, оставаясь, однако, на должной высоте, то это произойдёт путём глубокого изучения и широкого применения принципов математической классификации величин, лежащих, как мы уже видели, в основе всякого истинно научного иллюстративного метода.
Существуют, как я уже сказал, такие умы, которые могут с удовлетворением рассматривать чистые количества, представляющиеся глазу в виде символов, а разуму в форме, которую не может понять никто, кроме математиков.
Другие получают большее удовлетворение, следя за геометрическими формами, которые они чертят на бумаге или строят в пустом пространстве перед собой.
Иные же не удовлетворяются до тех пор, пока не перенесутся в созданную ими обстановку со всеми своими физическими силами. Они узнают, с какой скоростью проносится в пространстве планета, и испытывают от этого чувство восхитительного возбуждения. Они вычисляют силы, с которыми притягивают друг друга небесные тела, и чувствуют, как напрягаются от усилия их собственные мышцы.
Для этих людей слова «момент», «энергия», «масса» не являются просто абстрактным выражением результатов научного исследования. Эти слова имеют для них глубокое значение и волнуют их душу, как воспоминания детства.
Для того чтобы удовлетворить людей этих различных типов, научная истина должна была бы излагаться в различных формах и считаться одинаково научной, будет ли она выражена в полнокровной форме или же в скудном и бледном символическом выражении.
Мне бы не хватило времени, если бы я попытался иллюстрировать на примерах научное значение классификации величин. Я упомяну лишь название чрезвычайно важного класса величин, имеющих направление в пространстве, которые Гамильтон назвал векторами и которые составляют предмет исчисления кватернионов. Эта отрасль математики, когда сторонники иллюстративного метода поймут её до конца и облекут физическими иллюстрациями, станет, может быть, под каким-нибудь новым именем, могущественным методом сообщения истинно научных знаний лицам, очевидно, лишённым вычислительного духа.
Для того, кто изучает прогресс науки, взаимное воздействие различных областей мышления представляет чрезвычайный интерес; рискуя злоупотребить драгоценным временем, я хочу в нескольких словах коснуться одной из ветвей физики, которую ещё недавно сочли бы ветвью метафизики. Я говорю об атомной теории, или, как её теперь называют, о молекулярной теории строения тел.
Если бы нас спросили несколько лет тому назад, в какой из областей физики было меньше всего произведено открытий, то мы указали бы, с одной стороны, на безнадёжно далёкие неподвижные звезды, а с другой стороны, на непостижимо тонкое строение материальных тел.
Действительно, если считать Конта в известной мере представителем научных взглядов его времени, то нужно признать, что исследование явлений, совершающихся за пределами нашей солнечной системы, беспредельно трудно, если не совсем безнадёжно.
Представление о том, что тела, которые мы видим, можем привести в движение или оставить в покое, разломать на части или разрушить, состоят из более мелких тел, которых мы не можем ни видеть, ни осязать, которые всегда находятся в движении и которых мы не можем ни остановить, ни разбить на части, ни разрушить или лишить малейшего из их свойств,— известно под названием атомной теории. Эта теория связана с именами Демокрита, Эпикура и Лукреция, и обычно считали, что она допускает только существование атомов и пустоты и исключает всякую другую основу тел.
Во многих физических умозаключениях и математических выкладках мы привыкли рассуждать так, как будто такие субстанции, как воздух, вода или металлы, которые кажутся нашим чувствам однородными и сплошными, являются однородными и сплошными и в строго математическом смысле.
