(11)
или
u+
∂u
∂x
𝑑x
𝑑σ
𝑑σ+
∂u
∂y
𝑑y
𝑑σ
𝑑σ+
∂u
∂z
𝑑z
𝑑σ
𝑑σ,
(12)
или
u+
𝑑u
𝑑σ
𝑑σ
(13)
Но это есть выражение значения компонента u скорости самой жидкости в данной точке, и то же можно доказать и относительно других компонент.
Итак, скорость второй точки вихревой линии тождественна скорости жидкости в данной точке. Другими словами, вихревая линия следует вместе с жидкостью, и всегда состоит из одного и того же ряда жидких частиц. Следовательно, вихревая линия не есть просто математический символ, но имеет физическое существование, непрерывное во времени и в пространстве.
Дифференцируя уравнения (1) по x, y и z и, складывая результаты, получаем уравнение
Это — уравнение одного вида с уравнением (6), выражающим условие течения жидкости, имеющей постоянную плотность. Следовательно, если вообразим себе жидкость, совершенно независимую от первоначальной жидкости, для которой компоненты скорости суть α, β, γ, то воображаемая жидкость будет течь без изменения её плотности.
Представим себе теперь замкнутую кривую в пространстве, и пусть проведены вихревые линии из каждой её точки в обе стороны. Эти вихревые линии образуют трубчатую поверхность, называемую вихревой трубкой или вихревой нитью. Так как воображаемая жидкость течёт по вихревым линиям без изменения плотности, то количество, протекающее в единицу времени через какое угодно сечение одной и той же вихревой трубки, должно быть одинаково. Следовательно, для всякого сечения вихревой трубки произведение площади сечения на среднюю скорость вращения одно и то же. Это количество называется напряжением вихревой трубки.
Вихревая трубка не может начинаться или оканчиваться внутри жидкости; в самом деле, если бы это было, то воображаемая жидкость, компоненты скорости которой суть α, β, γ, происходила бы из ничего при начале трубки и обращалась бы в ничто при её конце. Стало быть, если трубка имеет начало и конец, то они должны лежать на поверхности жидкой массы. Если жидкость беспредельна, то вихревая трубка должна быть бесконечна или же должна быть замкнутой.
Итак, относительно конечной вихревой трубки в бесконечной жидкой массе мы приходим к следующим замечательным теоремам: 1) Трубка замкнута, образуя замкнутое кольцо. Мы можем, следовательно, назвать её вихревым кольцом. 2) Она всегда состоит из одних и тех же частей жидкости. Следовательно, её объём не изменяется. 3) Напряжение её всегда одно и то же. Следовательно, скорость вращения в некотором сечении изменяется обратно пропорционально площади этого сечения, а скорость некоторого сегмента изменяется прямо пропорционально длине сегмента. 4) Если какая-либо часть жидкости не находилась первоначально в состоянии вращательного движения, то она никогда не может прийти в такое состояние; если же часть жидкости находится в состоянии вращения, то это вращение никогда не может прекратиться. 5) Вихревая трубка никогда не может пройти через другую вихревую трубку или через какой-либо из своих собственных витков. Следовательно, если две вихревые трубки сцепляются одна с другой, то их никогда нельзя разъединить и, если вихревая трубка образует узел, то он никогда не может быть развязан. 6) Движение в некоторый момент каждой части жидкости, заключающей вихревые кольца, можно точным образом представить себе, вообразив, что некоторый электрический ток занимает место каждого вихревого кольца, причём сила тока пропорциональна напряжению кольца. Магнитная сила в некоторой точке пространства будет, следовательно, представлять, по направлению и величине, скорость жидкости в соответствующей точке жидкости.
Эти свойства вихревых колец подали сэру В. Томсону14* мысль о возможности построить, основываясь на них, новую форму атомистической теории. Условия, которым должен удовлетворять атом, суть постоянство величины, способность к внутреннему движению или к колебанию и достаточное число возможных признаков, которые позволяли бы объяснять различие между атомами разного рода.
Мельчайшее твёрдое тело, которое воображал Лукреций и принял Ньютон, было изобретено с явной целью объяснить постоянство свойств тел. Но это предположение отказывается служить, если мы захотим дать себе отчёт в колебаниях молекулы, которые обнаруживает спектроскоп. В самом деле, мы можем предположить, что атом — это тело упругое, по это значило бы наградить его тем самым свойством, для объяснения которого, как свойства сложных тел, и было первоначально допущено атомистическое строение тел. Обладающие массой центры сил, которые воображал себе Бошкович, можно было бы рекомендовать скорее математику, который не колеблясь приписал бы им свойства притяжения и отталкивания, согласно некоторому закону расстояния, какой заблагорассудилось бы ему допустить. Такие силовые центры, без сомнения, по природе своей неделимы, но взятые в отдельности, они также неспособны к колебанию. Чтобы получить колебания, мы должны вообразить молекулы, состоящие из нескольких таких центров, по вместе с этим опять вводится возможность полного разделения этих центров. Кроме того, было бы мало научным приёмом, введя атомы как раз для того, чтобы освободиться от сил, действующих на заметных расстояниях, сделать единственной функцией атомов действие на весьма малых расстояниях.
С другой стороны, вихревое кольцо Гельмгольца, которое Томсон представляет себе как истинную форму атома, в большей мере удовлетворяет этому условию, нежели какой-либо из атомов, какие воображали доселе. Во-первых, оно количественно неизменно в отношении его объёма и напряжения — двух независимых количеств. Оно неизменно и качественно — в отношении степени сложности его внутреннего строения: будет ли это замкнутый «узел» или «соединение в цепь» с другими вихревыми кольцами. Вместе с тем оно способно к бесконечным изменениям формы и может совершать колебания различных периодов подобно молекуле. И число существенно различных сцеплений вихревых колец может быть весьма велико, причём нет надобности в допущении весьма высокой степени сложности какого-либо из них.
Но высшее, с философской точки зрения, достоинство этой теории состоит в том, что её успех в объяснении явлений не зависит от искусства, с каким её авторы будто бы «спасают внешние приличия», вводя то одну гипотетическую силу, то другую. Раз вихревой атом пришёл в движение, все его свойства абсолютно устанавливаются и определяются законами движения основной жидкости, которые вполне выражаются основными уравнениями. Ученик Лукреция может рассекать и разрезать свои твёрдые атомы в чаянии, что этим он содействует их соединению для образования миров; последователь Бошковича может придумывать новые законы силы, сталкиваясь с требованиями каждого нового явления; но тот, кто дерзнёт вступить на путь, открытый Гельмгольцем и Томсоном, не обладает этими средствами. Его основная жидкость не обладает иными свойствами, кроме инерции, неизменной плотности и совершённой подвижности, а способ, каким можно следить за движением этой жидкости, есть чистый математический анализ. Трудности этого метода неимоверны, зато слава победы над ними — в своём роде единственная.
Кажется, не может быть сомнения, что столкновение между двумя вихревыми атомами, по общему своему характеру, будет подобно уже описанному столкновению. В самом деле, встреча двух колец дыма в воздухе даёт весьма ясное доказательство упругости вихревых колец.
Но одно из первых, если не самое первое, требование полной теории материи есть объяснение, во-первых, массы и, во-вторых, тяготения. Объяснить массу — это может показаться предприятием абсурдным. Мы вообще предполагаем, что сущность материи — быть носительницей количества движения и энергии, и даже Томсон, в определении своей основной жидкости, приписывает ей обладание массой. Однако, согласно Томсону, хотя основная жидкость и есть единственная истинная материя, но то, что мы называем материей, не есть сама основная жидкость, а способ движения этой основной жидкости. Вихревое кольцо и есть этот способ движения, и оно являет нам пример постоянства и непрерывности существования, которые мы привыкли приписывать самой материи. Основная жидкость, эта единственная истинная материя, совершенно недоступна нашим чувствам, если она не наделена способом движения, превращающим известные её участки в вихревые кольца и таким образом делающим её молекулярной.
