О теории вихревых атомов

Уравнения, служащие основанием математической теории движения жидкостей, были полностью установлены Лагранжем и великими математиками конца последнего столетия, но число решений случаев движения жидкостей, приведённых в законченную форму, все ещё оставалось невелико, и почти все они относились к тому частному типу движения жидкости, который с тех пор получил наименование безвихревого типа. В самом деле, Лагранж показал, что идеальная жидкость, если её движение в некоторое время есть движение безвихревое, будет продолжать всегда двигаться безвихревым образом, так что если допустить, что жидкость была в некоторый момент в покое, то вычисление её следующего за тем движения может быть значительно упрощено.

На долю Гельмгольца выпало указать весьма замечательные свойства вихревого движения в однородной несжимаемой жидкости, лишённой всякой вязкости. Прежде всего мы должны определить физические свойства такой жидкости. Во-первых, это — материальная субстанция. Её движение непрерывно в пространстве и во времени, и если мы будем следить за движением некоторой её части, то оказывается, что масса этой части остаётся неизменной. Эти свойства она разделяет со всякой материальной субстанцией. Во-вторых, она несжимаема. Форма данной части жидкости может изменяться, но её объём остаётся неизменным; другими словами, плотность жидкости во время движения остаётся неизменной. Кроме того, жидкость однородна, т. е. плотность всех её частей одинакова. Она также непрерывна, так что масса жидкости, содержащейся внутри некоторой замкнутой поверхности, всегда в точности пропорциональна объёму, содержащемуся внутри этой поверхности. Это тождественно утверждению, что жидкость не состоит из молекул; в самом деле, если бы она была составлена из молекул, то масса изменялась бы скачками по мере непрерывного увеличения объёма, потому что сначала одна, потом другая молекула включались бы внутрь замкнутой поверхности. Наконец, это совершённая жидкость, или, другими словами, напряжение между какой-либо частью и смежной ей частью всегда нормально к отделяющей их поверхности, независимо от того, находится ли жидкость в покое или в движении.

Мы видели, что в молекулярной жидкости диффузия молекул производит диффузию движения различных частей жидкости, так что действие между смежными частями уже не нормально, но имеет место в направлении, стремящемся уменьшить их относительное движение. Следовательно, совершённая жидкость не может иметь молекулярного строения.

Все, что нужно для построения правильной математической теории материальной системы, состоит в том, чтобы её свойства можно было ясно определить и чтобы они не противоречили друг другу. Это — существенно необходимо. Существует ли в действительности субстанция с такими свойствами — это вопрос, который приходится рассматривать только тогда, когда мы захотим сделать практические приложения результатов математической теории. Свойства нашей совершённой жидкости ясно определены и согласуются друг с другом, и из математической теории мы можем вывести замечательные результаты, причём некоторые из них можно грубо иллюстрировать при помощи жидкостей, которые отнюдь несовершенны в смысле отсутствия вязкости, как, например, воздух и вода.

Движение жидкости называется безвихревым в том случае, когда оно таково, что если бы сферическая часть жидкости внезапно отвердела, то образованная таким образом твёрдая сфера не получила бы вращения вокруг некоторой оси. Когда движение жидкости вращательное, то ось и угловая скорость вращения некоторой малой части жидкости суть ось и угловая скорость малой сферической части, внезапно отвердевшей.

Математическое выражение этих определений таково. Пусть u, v, w суть компоненты скорости жидкости в точке (x, y, z) и пусть

α=

∂v

∂z

-

∂w

∂y

,

β=

∂w

∂x

-

∂u

∂z

,

γ=

∂u

∂y

-

∂v

∂x

…,

(1)

тогда α, β, γ суть компоненты скорости вращения жидкости в точке (x, y, z). Ось вращения совпадает с направлением результирующей α, β и γ, а скорость вращения измеряется этой результирующей.

Линия, проведённая в жидкости так, чтобы в каждой точке линии

1

α

𝑑x

𝑑s

=

1

β

𝑑y

𝑑s

=

1

γ

𝑑z

𝑑s

=

1

ω

…,

(2)

(где s — длина линии до точки x, y, z) называется линией вихря. Её направление во всех точках совпадает с направлением оси вращения жидкости. Теперь мы можем доказать теорему Гельмгольца, что точки жидкости, находящиеся в некоторый момент на одной и той же вихревой линии, будут лежать на той же линии во все время движения жидкости.

Уравнения движения жидкости имеют вид

ρ

δu

δt

+

𝑑p

𝑑x

+p

𝑑V

𝑑x

=0…,

(3)

где ρ — плотность, которую в случае нашей однородной несжимаемой жидкости мы можем принять равной единице; оператор ^δ/_δt изображает быстроту изменения величины, которой он предшествует, в точке, движущейся вперёд с жидкостью, так что

δu

δt

=

𝑑u

𝑑t

+u

𝑑u

𝑑x

+v

𝑑u

𝑑y

+w

𝑑u

𝑑z

…,

(4)

где p — давление, а V — потенциал внешних сил. Есть ещё два других уравнения того же вида, соответствующих осям y и z. Дифференцируя по z уравнение, соответствующее оси y и по y — уравнение, соответствующее оси z, и вычитая второе из первого, находим

𝑑

𝑑z

δv

δt

-

𝑑

𝑑y

δw

δt

=0… .

(5)

Выполняя дифференцирование и обращаясь к уравнениям (1) и к условию несжимаемости

𝑑u

𝑑x

+

𝑑v

𝑑y

+

𝑑w

𝑑z

=0,

(6)

находим

δα

δt

=α

∂u

∂x

+β

∂u

∂y

+γ

∂u

∂z

.

(7)

Пусть теперь вихревая линия проведена в жидкости так, чтобы она всегда начиналась в одной и той же части жидкости. Компоненты скорости в данной точке суть u, v, w. Найдём компоненты скорости точки движущейся вихревой линии в расстоянии 𝑑s от данной точки, где

𝑑s=ω𝑑σ.

(8)

Координаты этой точки суть

x+α𝑑σ,

y+β𝑑σ,

z+γ𝑑σ,

(9)

а компоненты её скорости

u+

δα

δt

𝑑σ,

v+

δβ

δt

𝑑σ,

w+

δγ

δt

𝑑σ.

(10)

Рассмотрим первую из этих слагающих. В силу уравнения (7) мы можем написать её так:

u+

∂u

∂x

α

𝑑σ+

∂u

∂y

β

𝑑σ+

∂u

∂z

γ

𝑑σ,