Почему Джонни не знает математики?

Представьте, что вы женщина в кабинете гинеколога. Ваш врач предлагает сделать маммограмму груди, ваши худшие опасения подтверждаются: результат положительный. Но вы слышали, что подобные исследования не всегда точны, поэтому вы спрашиваете врача: «Означает ли это, что у меня действительно рак груди? Какова вероятность этого?»

Разумеется, есть огромная разница между тем, составляет ли вероятность наличия у вас рака 1% или 90%. Многие полагают, что врач всегда знает точный ответ. Но не следует быть в этом столь уверенными. В недавнем эксперименте 160 уважаемым врачам предоставили статистические данные, необходимые для расчета вероятности наличия рака у женщины с позитивным результатом теста. Здесь все, что вам нужно знать.

✔ Вероятность того, что у женщины действительно рак, составляет 1%.

✔ Если у женщины есть рак, то вероятность того, что это покажет тест, составляет 90%.

✔ Если у женщины нет рака, то вероятность того, что результаты теста все же будут положительными, составляет 9%.

Если женщина имеет положительный результат, какова вероятность того, что у нее действительно рак?

Правильный ответ — примерно 10%. С учетом изложенного выше, если анализы на злокачественную опухоль положительные, то существует примерно 10%-ная вероятность того, что она действительно больна раком. (Если посчитать математически, то получается, что у девяти из 100 женщин, у которых нет рака, окажутся ложноположительные результаты теста и меньше чем одна из тысячи будет действительно больна. Таким образом, всего одна из десяти женщин, чьи анализы были положительными, или 10%, действительно имеет рак.)

Но из тех врачей, перед которыми поставили эти вопросы, только 21% дали правильный ответ. Хотя это уже достаточно тревожный результат, ситуация оказалась намного хуже. Все врачи были гинекологами. Эти люди на практике проводили исследование — маммографию. Они могли бы просто вспомнить то, что должны были знать относительно ложных положительных результатов, но не сделали этого. Еще большую озабоченность вызывает разброс в ответах. Более половины врачей сказали, что вероятность наличия рака составляет 90%! А каждый пятый доктор был убежден, что вероятность — всего 1%! Но есть и еще кое-что. Подразумевалось четыре варианта ответов на вопрос: 90%, 81%, 10% и 1%. Это означает, что даже обезьяны показали бы лучшие результаты, отвечая на поставленный вопрос, потому что при случайном угадывании ответа обезьяны были бы правы в 25%, а врачи дали правильный ответ только в 21% случаев.

Литература по суждениям и процессу принятия решений буквально переполнена такого рода шокирующими исследованиями. Есть большой соблазн представить такие открытия в качестве доказательства неразвитости человечества и отсутствия у него способностей. Действительно, ошибки случаются — и их совершают люди, которые должны были бы принимать более правильные решения. Но прежде чем обвинять человечество во всех грехах, давайте отступим на шаг и еще раз взглянем на ситуацию.

Люди, совершающие эти ошибки, — врачи. Они получили полное образование, включая очное обучение в университете, и учились от пяти до 30 лет. И это не простое образование. Вы должны быть очень сообразительным и высокомотивированным, чтобы хотя бы попасть в медицинский университет, не говоря уже о том, чтобы сдать все экзамены и окончить его. Вряд ли имеет смысл относить эту группу людей к числу неумных.

С точки зрения эволюционного психолога, невероятно, чтобы мозг развивался с целью стать неэффективным.

Вместо этого проблема может заключаться не в тех, кто проходит тестирование, а в тех, кто составляет тесты. Задача с раком груди ставит перед нами вопрос на такой частоте, которую наш мозг не воспринимает. Поэтому для нас очень важно правильно настроить антенну.

Общение на нашей обычной частоте

В современном мире нас буквально захлестывает волнами выраженной в цифрах статистической информации. Если вы достаточно долго изучали математику, то должны понимать, что вероятность 0,07 — это то же самое, что показатель правдоподобия 7%. Но многие из нас все еще изумленно поднимают брови и прищуривают глаза, переваривая утверждение о вероятности 0,07.

Вероятность и функциональное правдоподобие — это обычные методы представления статистической информации, но с точки зрения эволюции они являются достаточно новыми изобретениями. Математические вероятности были открыты в Европе в середине 1600-х годов. И благодаря этому ренессансу статистики мы имеем сегодня прекрасный способ представлять цифры — он настолько хорош, что иногда обыгрывает нас самих.

Герд Гигерензер, специалист по принятию решений из берлинского Института Макса Планка, не относится к числу горячих поклонников математических вероятностей или оценок правдоподобия. Он уже давно понял, что пытаться понять вероятности и правдоподобия — это то же самое, что сравнивать эволюционные коэффициенты письменной и устной речи. Это неестественный и трудный вариант чего-то такого, что относительно просто в другом формате. Статистические данные, представленные в виде вероятностей, могут создать много проблем. Даже хорошие писатели имеют проблемы с орфографией в словах «интеллигенция», «смущенный» и «грамматика». Точно так же и хорошие врачи могут иметь проблемы с определением правдоподобия того, что у вас рак груди, если результат теста оказывается положительным.

Вместо того чтобы получать информацию в виде условных вероятностей или оценок правдоподобия, люди, как указывает Гигерензер, гораздо легче воспринимают ту же информацию, если она представлена в формате естественной частотности.

«Естественная частотность представляет собой способ, которым наши предки кодировали информацию», — поясняет Гигерензер. Если вероятности — это письмо, то естественная частотность — это речь.

Давайте проплывем на лодке вверх по течению в деревню племени шивиар. Представьте, что старейшина деревни пытается определить, стоит ли сегодня охотиться в близлежащем красном каньоне.

Для людей из племени шивиар, как и для большинства наших предков, единственной доступной информацией, необходимой для совершения подобного рода расчетов, были их собственные наблюдения и сведения, сообщенные им самыми близкими людьми. Когда старейшина размышляет, правильно ли будет идти охотиться в красный каньон, он может принять во внимание то, что случилось за последние 20 раз охоты там.

Старейшина видит естественную частотность — пять из последних 20 охот в красном каньоне были удачными. Он не мыслит категориями вероятностей. Не размышляли подобным образом и наши предки, которые не видели вероятностей в окружающем их мире. В результате наш мозг не думает категориями вероятности («0,25 вероятности успеха»), а оперирует категориями естественной частотности («пять попыток из 20 были удачными»).

Годы систематического штудирования математики научили нас тому, что два этих статистических выражения — одно и то же. Но годы обучения нас письму не сделали ненужными компьютерные программы проверки орфографии.

Гигерензер установил значительное улучшение результатов тестов и у новичков, и у подготовленных людей в тех случаях, когда вопросы ставятся не в категориях вероятностей, а в категориях естественной частотности. Возьмите, например, сформулированный в категориях вероятностей вопрос, который сбил с толку наших врачей. Вот та же самая информация, переведенная на язык естественной частотности.

✔ Десять из каждой тысячи женщин имеют рак груди.

✔ Из этих десяти женщин с раком груди девять в результате обследования получают положительные результаты.

✔ Из 990 женщин, не болеющих раком груди, около 89 в результате обследования имеют положительные результаты.

Если результаты обследования женщины положительные, каков шанс того, что она больна раком груди?