«Справедливость аксиом и теорем ничуть не поколеблется, если мы заменим привычные термины «точка, прямая, плоскость» другими, столь же условными: «стул, стол, пивная кружка»!»
Разница между этими текстами Евклида и Гильберта состоит в использовании интуиции и наглядных соображений. Гильберт пытается избавиться от субъективности в науке. Для этого он прибегает к строгому формализму: аксиомы определяют отношения между геометрическими объектами (и они не требуют других определений, кроме самих этих аксиом), и на их основе, используя инструментарий формальной логики, создаются теоремы. При этом подходе невозможно вывести утверждение и его опровержение (на этой особенности основан метод доведения до абсурда), и непротиворечивость теории, построенной таким образом, подразумевает существование гео-
метрических объектов. Гильберт попытался создать твердую основу математики, после того как потерпел поражение подход, основанный на теории типов Рассела. Вдохновившись этим новым веянием в математической науке, выдающийся французский ученый Жан Дьёдонне во время семинара в 1969 году воскликнул: «Долой Евклида!» Этими словами он вовсе не принижал заслуги гениального александрийского математика, но стремился раскритиковать чрезмерное насаждение его геометрического учения в школах того времени. Так в начале 1970-х зарождалась наука, позже названная современной математикой, — новый подход к математике, имевший невероятный успех. Гильберт говорил:
«Моя мысль заключается в следующем: несмотря на высокую педагогическую и эвристическую ценность генетического метода, аксиоматический метод [...] предпочтительнее, поскольку дает окончательную картину наших знаний и их безупречной логической точности».
И все же спустя 20 лет его метод оказался «слишком современным». Через 2000 лет после написания «Начал» дискуссия о педагогической ценности евклидовых теорий — с точки зрения генетического метода — открыта снова.
Список рекомендуемой литературы
Bell, Е.Т., Losgrandes matemdticos, Buenos Aires, Losada, 2010.
Boyer, C., Historia de la matemdtica, Madrid, Alianza Editorial, 2007.
Eggers Lan, C., El nacimiento de la matemdtica en Grecia, Buenos Aires, Eudeba, 1995.
Hilbert, D., Fundamentos de geometria, Madrid, Centro Superior de Investigaciones Cientificas, 1953 (reeditado en 2010).
Kline, M., Matemdticos. Laperdida de la certidumbre, Madrid, Siglo XXI, 1985.
Korner, S., Introduccion a la filosofia matemdtica, Mexico, Siglo XXI, 1967.
Puertas Castanos, M.L., Elementos, tres volumenes, Madrid, Gredos, 1991,1994 у 1996.
Pla i Carrera, J., La veritat matemdtica, Barcelona, Reial Academia de Doctors, 2003.
—: Liu Hui. Nueve capitulos de la matemdtica china, Madrid, Nivola, 2009.
Stewart, I., Historia de las matemdticos, Madrid, Critica, 2008.
Vera, F., Cientificos griegos, 2 volumenes, Madrid, Aguilar, 1970.
Указатель
Автолик Питанский 29, 31, 34
аксиома 42, 43, 65, 74, 75, 77, 81, 118, 159
алгоритм Евклида 46, 76, 139, 141, 145— 147, 149, 154
анализ 31, 33, 53, 54, 56, 59, 80, 101, 103, 104, 116, 119
Антифонт 29, 34, 133
Аполлоний 9, 11, 25, 29, 30, 49
Аристотель 8, 9, 15, 16, 27, 29, 31, 34, 35, 37, 41-43, 48-51, 58, 80-82, 85, 110, 111, 125, 133, 149, 160
арифметика 7-9, 11, 34, 42, 45, 46, 51, 60, 80, 82, 109, 141, 145-149, 152, 153, 159
Архимед 9, 11, 17, 25, 29-31, 41, 46, 49, 65, 72, 78, 109, 112, 118, 125, 126, 139, 140
бесконечность 8, 9, 61, 63, 80, 82-85, 86, 110, 125, 127, 133, 134, 146, 149, 153
актуальная 80, 82-84, 86, 110, 134
первых чисел 83, 149
потенциальная 80, 82, 85
путем прибавления 80
существование бесконечного 80, 82
Бойяи, Янош 73, 75, 76, 86
Брисон Гераклийский 29, 34, 133
величина 18, 19, 42, 44, 49, 51, 60, 80, 92, 109, 110, 112-114, 116-120, 124-126, 147
соизмеримая 113-117, 121, 122, 147
несоизмеримая 11, 46, 92, 113-116, 119, 121-123, 146, 147
пропорциональная 24, 120, 124, 137, 144, 147
Гаусс, Карл Фридрих 68, 75, 78, 79, 145
геометрия 7-9, 11, 15, 17-20, 22, 25, 30- 33, 42-45, 48, 49, 51, 61, 63-65, 68, 69, 71-80, 87, 90, 92, 94, 95, 109, 110, 112, 118, 124, 127, 141, 161, 162
ванной 78
внутреннего двора 72
гиперболическая 73, 77-79
евклидова 8, 63, 64, 68, 69, 71, 73, 76-80, 161
неевклидова 61, 74-76
сферическая 72, 75, 77, 79
эллиптическая 72, 77, 79
Герои Александрийский 11, 30, 60
Гильберт, Давид 65, 77, 81, 127, 161, 162
гипотеза 26, 35, 40, 42, 43, 58, 71, 74, 76, 111
Гиппас из Метапонта 29, 34
Гиппий Элидский 11, 29, 34
Гиппократ Хиосский 11, 30, 32-34, 48, 131, 132, 145
Гипсикл Александрийский 11, 19, 30, 44, 47, 104
да Винчи, Леонардо 41, 106
Демокрит 11, 29, 34
Диофант 8, 9, 11, 30, 97
доведение до предела 134, 135, 137
Дьёдонне, Жан 162
Евдем Родосский 11, 30, 31, 34
Евдокс 8, 9, 11, 17, 30, 32-34, 45, 46, 107, 109, 116-118, 124, 125, 140
единица 42, 51, 79, 119, 138, 143, 144, 146, 150, 153
измерения 113-115, 116
звезда пифагорейская 101
Зенон 11, 29, 34, 41, 109-111, 117
золотое/ золотой 44, 90, 100-103
отрезок 90, 100, 101
прямоугольник 101-106
сечение 44, 100, 101
соотношение 100, 103
число 100
Исидор Милетский 11, 19, 44, 47
квадрат 10, 40, 45, 52, 58, 89, 90, 91, 96, 98-100, 114-116, 118, 132-136, 138-140, 146, 152, 153
квадратура 32, 33, 45, 90, 126, 131,
луночек 32, 33, 131
многосторонних фигур 90, 98, 124
круга 9, 126, 129, 132, 133, 140
параболы 126, 127
квадривиум 7
Киренский, Феодор 9, 29, 32, 33, 46, 115
Коммандино, Федерико 159, 160
конические сечения 11, 19, 21, 22, 25, 34
гипербола 21, 22, 70
парабола 21, 22, 126, 127, 135
эллипс 21, 22
кривизна 76
круг 9-11, 42, 46, 50-52, 58, 64, 65, 72, 80, 103, 109, 118, 125, 126, 127, 129, 131-140
наибольший 72
Лейбниц, Готфрид Вильгельм 27
Линдеман, Фердинанд фон 140
линейка 33, 44, 45, 50, 71, 99, 140
Лобачевский, Николай 73-75, 79, 86
луночка 32, 33, 131, 132
математа 7, 25
математические объекты 38, 42, 56, 58
природа
онтологическая 38
эпистемологическая 38
метод 8, 11, 44, 46, 53, 55, 56, 58, 60, 63, 74, 89, 90, 92-94, 96, 107, 116, 118, 122, 125-127, 131, 132, 136, 146, 147, 152.153
двойного доведения до абсурда 125
доведения до абсурда 44, 56, 58, 67, 83, 111, 116
исчерпывания 8, 11, 46, 60, 107, 118, 125-127, 135, 136, 139
танграма 44, 60, 87, 90-94, 96, 122, 125, 127, 131, 132
методология 7, 9, 17, 43, 49, 58, 82, 109, 119
Мопертюи, Пьер Моро де 27
наибольший общий делитель 141, 146
несоизмеримость 72, 92, 116, 119, 121, 122, 146, 147
Никомах Герасский 11, 30, 149, 150
Ньютон, Исаак 9, 25, 80
окружность 10, 21, 24, 45, 50, 52-54, 66-68, 99, 104, 107, 116, 131, 132, 134, 138-140
определение 42, 43, 44-56, 63-65, 70, 83, 95, 109, 113, 116, 117-119, 121, 124-126, 136, 143, 144, 145, 150
definiendum 42
definiens 42
Папп Александрийский 8, 9, 11, 18, 22, 23, 30, 49
парадокс 109-111
параллельные 52, 67, 71-73, 83
Парменид 11, 29, 34, 41, 111
Пачоли, Лука 104-106, 159
пирамида 46, 107, 119, 125, 127
объем 46, 107, 118, 119, 127
пифагорейская звезда 101
Пифагор Самосский 7, 8, 11, 152
Платон 8, 11, 15-17, 29, 31-33, 35, 37-39, 40-43, 50, 89, 102, 111, 118, 153, 158, 160
постулат 8, 9, 11, 27, 33, 42-44, 47-50, 53-56, 58-60, 61, 63-67, 68-71, 74-76, 80, 82, 86, 90, 93, 112, 113, 117, 126, 143, 148
