95
97
101
103
Начиная с 5 уберем пятые числа через каждые пять и получим следующее.
3
5
7
11
13
17
19
23
29
31
37
41
43
47
49
53
59
61
67
71
73
77
79
83
89
91
97
101
103
И так далее. Вот список простых чисел до тысячи.
2
3
5
7
11
13
17
19
23
29
31
37
41
43
47
53
59
61
67
71
73
79
83
89
97
101
103
107
109
113
127
131
137
139
149
151
157
163
167
173
179
181
191
193
197
199
211
223
227
229
233
239
241
251
257
263
269
271
277
281
283
293
307
311
313
317
331
337
347
349
353
359
367
373
379
383
389
397
401
409
419
421
431
433
439
443
449
457
461
463
467
479
487
491
499
503
509
521
523
541
547
557
563
569
571
577
587
593
599
601
607
613
617
619
631
641
643
647
653
659
661
673
677
683
691
701
709
719
727
733
739
743
751
757
761
769
773
787
797
809
811
821
823
827
829
839
853
857
859
863
877
881
883
887
907
911
919
929
937
941
947
953
967
971
977
983
991
997
ПИФАГОРОВА ТРОЙКА
Последняя задача, которую стоит разобрать, — это алгоритм получения пифагоровых троек — трех натуральных чисел, подтверждающих теорему Пифагора, например 3, 4, 5; 5, 12, 13 и так далее, то есть таких чисел a, b и с, при которых а2 + b2 = с2.
Возможно, в Древнем Вавилоне знали метод нахождения пифагоровых троек, о чем свидетельствует вавилонская глиняная табличка, которую называют Plimpton 322. В ней содержится несколько троек, выраженных в шестидесятых долях. Пифагору приписывается авторство метода, позволяющего получить эти числа, основанного на гномоне квадратных чисел. Квадратное число — это то, которое можно выразить в виде квадрата (см. рисунок). Следовательно, мы имеем n² + (2n + 1) = (n+1)². Для того чтобы составить пифагорову тройку, в которой катет и гипотенуза — два последовательных числа, гномон тоже должен быть квадратом, то есть 2n + 1 = k², где k — нечетное число. Следовательно,
n = (k² - 1)/2, k нечетное.
Так можно получить тройки n = (k² - 1)/2, k, n +1 = (k² + 1)/2,
где k — нечетное число, образующее следующие таблицы.
Последовательность квадратных чисел 1, 4, 9,16 (n - 1)², n². Чтобы перейти от cn = n² к cn + 1 = (n + 1)², нужно добавить гномон, равный 2n +1. То есть между ними всегда будет нечетное число.
a = k, где k нечетное
3
5
7
9
11
13
15
...
b = n = n = (k² - 1)/2
4
12
24
40
60
84
112
...
c = n + 1 = n = (k² + 1)/2
5
13
25
41
61
85
113
...
Таким образом можно получить бесконечное множество троек, но не все: например, здесь не хватает тройки 8, 15, 17, в которой разница между катетом и гипотенузой равна двум единицам.
Платону приписывают обобщение этого метода Пифагора. Необходимо перейти от (n - 1)² к (n + 1)². Для этого надо сложить два гномона: 2n - 1, позволяющий перейти от (n - 1)² к n², и 2n + 1, позволяющий перейти от n² к (n + 1)². Всего надо добавить 4n. То есть (n - 1)² + 4n = (n + 1)². Значит, n должно быть квадратным числом: n = k². Так мы получаем тройки k² - 1, 2k и k² + 1. При k = 4 мы получим уже упомянутую тройку 8,15,17. Запишем это в виде таблицы.
k
2
3
4
5
6
7
8
a = k²- 1
3
8
15
24
35
48
63
b = 2k
4
6
8
10
12
14
16
с = k² +1
5
10
17
26
37
50
65
Приведенные таблицы различаются: в первой представлены простые тройки, то есть такие, у которых нет общего делителя; во второй цифры в столбцах с нечетным к можно разделить на 2, и мы получим некоторые значения первой таблицы. Можно сказать, что первая таблица включена во вторую. Но существует ли алгоритм, позволяющий получить все возможные пифагоровы тройки? Ответ на этот вопрос положительный, и дает его сам Евклид в лемме 1 книги X:
Существуют два квадратных числа, которые вместе образуют еще один квадрат.
Не вдаваясь в подробности, скажем, что Евклид использовал алгоритм α = λ²-μ², b = 2λμ, c = λ² + μ², где λ и μ — взаимно простые числа, имеющие разную четность. Это условие необходимо соблюдать для того, чтобы тройки не повторялись и все составляющие их числа были простыми, без общих делителей. Действительно, нас интересуют только простые тройки, так как очевидно, что при любом натуральном числе k 3k, 4k, 5k тоже будут натуральными, ведь 3, 4 и 5 — натуральные. Все вышесказанное справедливо для любой пифагоровой тройки a, b, c.
ГЛАВА 8
Распространение «Начал»
Самым убедительным доказательством исторического значения труда Евклида являются многочисленные его копии и переиздания. Ни одно другое научное произведение античности не может похвастаться таким количеством переводов, изданий и комментариев.
