Сложные взаимные отношения времени и движения этим отнюдь не исчерпываются. О тонких гранях этих отношений говорил философ Зенон Элейский, живший в V веке до нашей эры. О нем рассказывает Аристотель в своей «Физике».

Зенон знаменит загадками. Загадки, которые он предлагал собеседникам, ставили их в тупик. Они до сих пор не утратили своей остроты и все еще вызывают споры. (Загадки Зенона носят название апорий; апория по гречески значит безвыходность). Но загадка — только форма рассуждения, способ изложения мысли. По существу же апории Зенона — остроумный анализ времени и движения, предпринятый с целью распознать их взаимные связи. Но прежде всего это — попытка разобраться в собственных способностях судить о времени и движении. В каких образах представляем мы себе эти понятия? Как «работаем» с этими образами в нашем сознании? Выясняется, что здесь не все благополучно.

Вот апория под названием «Стрела». Как мы представляем себе полет стрелы? Ее движение — это изменение положения в пространстве. Летящая стрела в разные мгновения находится в разных местах. В любое определенное мгновение она находится в определенном, единственном положении. Она находится в этом месте, как было бы, если бы она там покоилась. Ее нельзя отличить от другой стрелы, которая находится в том же самом месте и покоится. Это рассуждение можно повторить для каждого мгновения, так что в каждое мгновение наша стрела покоится.

— И это значит, — говорит Зенон, — что никакого движения нет.

— Как же так! — восклицает его собеседник. — Я точно знаю, что движение есть.

— Но я тебе доказал, что его нет, — отвечает Зенон. — Докажи мне, если сможешь, что оно есть.

Здесь и наш читатель спросит себя — в чем же дело? Рассуждение началось с довольно очевидного утверждения, дальнейшее следовало, кажется, вполне логично. Но окончательный вывод… Что-то тут не так.

Попробуем разобраться. Если стрела в каждое мгновение покоится, то как же она переходит из одного положения в другое? Наверное, все дело в «перескоке» из одного положения покоя в другое.

Но переход из одного положения в другое требует все же какого-то времени. И это время тоже состоит из мгновений, в каждое из которых стрела опять-таки занимает определенное место в пространстве, как если бы она там покоилась. Но какое же это движение, если стрела в каждое мгновение покоится… Попытка с «перескоками» не удалась.

Так в чем же решение загадки?

Легче всех решает ее сама стрела — она летит, летит и все тут. А наша задача — в том, чтобы составить себе разумную картину ее движения. И строя эту картину, не зайти в тупик, не натолкнуться на абсурдный вывод.

Описывать полет стрелы, снаряда, камня, мяча, имеющих в начале движения такую-то скорость, направленную под таким-то углом к горизонту, мы учимся в школе на уроках физики. Мы узнаём, что горизонтальная составляющая скорости при полете тела не меняется — в пренебрежении, конечно, сопротивлением воздуха. Направленная же вверх вертикальная составляющая скорости убывает из-за действия силы тяжести. В верхней точке пути она обращается в нуль. Затем вертикальная составляющая скорости растет по величине — тоже из-за силы тяжести, но теперь она направлена не вверх, а вниз. Исходя из этих соображений, мы легко можем подсчитать и дальность полета стрелы, и максимальную высоту ее подъема, и скорость в каждой точке пути — все, что ни пожелаем. При таком способе действий нас не подстерегают никакие тупики и головоломки. А если у нас к тому же имеется не очень сложное измерительное оборудование, то мы можем провести прямой эксперимент с полетом стрелы. Можем определить, измерить в таком эксперименте все интересующие нас величины и тем самым проверить расчет, проделанный при решении задачи. Можно не сомневаться, что здесь все будет в порядке.

Собеседники Зенона не знали того, что знает сейчас школьник. Динамики, физической науки о движениях тел под действием приложенных к ним сил, тогда еще не существовало. Что могли они противопоставить загадкам Зенона? Прежде всего, сам очевидный факт движения. Вот стихотворение А.С.Пушкина «Движение» — о Зеноне и его собеседниках:

Галилей прав в отстаивании взглядов Коперника на устройство Солнечной системы. И очевидность — это и вправду еще далеко не все. Движение, бесспорно, существует, но что в действительности стоит за наблюдаемой нами картиной? Даже описав самым исчерпывающим образом полет стрелы с помощью динамики, мы еще не знаем, что ответить Зенону.

Зенон предлагает нам рассуждать о движении с помощью наглядных, простых и очевидных образов — мгновение, положение в каждое мгновение и т. д. Мы, не подозревая подвоха, следуем за ним… и оказываемся в тупике. Но, видимо, сами эти образы хороши не всегда; они могут указывать только какие-то отдельные свойства движения, но, как демонстрирует нам Зенон, иногда не «работают». Они могут оказаться недостаточными и даже обманчивыми, вводящими в заблуждение.

Разгадать загадку Зенона, пользуясь им самим предложенными образами, кажется, невозможно. Хоть этому занятию и предавались вслед за ним лучшие умы многих поколений. Но как представить себе движение, составленное из неподвижностей? Да и состоит ли оно из них на самом деле?

Вот еще одна апория Зенона — «Ахиллес и черепаха». Приводим ее в изложении Симплиция, ученого VI века нашей эры.

«…речь идет об Ахиллесе, который, как гласит этот довод, не может догнать черепаху, которую он преследует. Ибо догоняющий должен, прежде чем он догонит преследуемого, достигнуть точки, из которой преследуемый начал свое движение. Но за время, необходимое преследователю для достижения этой точки, преследуемый, воспользовавшись этим, пройдет еще какое-то расстояние. Даже если это расстояние меньше расстояния, пройденного преследователем, поскольку преследуемый движется медленнее, все же он продвинется вперед, так как не стоит на месте…

Таким образом, в течение каждого периода времени, за который преследователь покрывает расстояние, уже пройденное преследуемым, … преследуемый пройдет еще дальше вперед на какое-то расстояние; и хотя это расстояние постепенно уменьшается в силу того, что преследующий имеет более высокую скорость, оно представляет собой продвижение на какую-то положительную величину…» Между Ахиллесом, как бы быстро он ни бежал, и черепахой всегда останется промежуток — он не догонит ее.

Эта апория вызывала и до сих пор вызывает, пожалуй, еще больше споров, чем «Стрела». Приведем некоторые высказывания о ней, принадлежащие историкам, философам, математикам нашего времени (они собраны в книге Дж. Уитроу — см. список литературы в конце книги).

«… знаменитая апория, которая оказала громадное влияние на развитие науки».

«Эта весьма бесхитростная уловка вовсе не представляет трудностей для ума, должным образом подготовленного в логике и математике».

«Это очень старая и, на мой взгляд, глупая проблема».

«Это неиссякаемая по своей глубине проблема привлекает внимание многих блестящих умов».

«Зенон совершил математическую ошибку, обусловленную его незнанием бесконечных числовых рядов».

Об Ахиллесе и черепахе вспоминает Лев Толстой в «Войне и мире». Он рассуждает об историческом развитии, о законах «исторического движения» и говорит про «неизбежную ошибку, которую ум человеческий не может не делать, рассматривая вместо непрерывного движения отдельные единицы движения». Он полагает, что об этом «софизме древних» полезно и поучительно подумать и историкам. «Для человеческого ума, — пишет Толстой, — непонятна абсолютная непрерывность движения. Человеку становятся понятны законы какого бы то ни было движения только тогда, когда он рассматривает произвольно взятые единицы этого движения. Но вместе с тем из–за этого-то произвольного деления непрерывного движения на прерывные единицы проистекает большая часть человеческих заблуждений». Толстой полагает, что «новая отрасль математики, достигнув искусства обращаться с бесконечно малыми величинами, и в других, более сложных вопросах движения дает теперь ответы на вопросы, казавшиеся неразрешимыми» (том третий, часть третья, глава первая). Он тоже, как видно, полагал, что все дело в суммировании бесконечных рядов, и вместе с тем говорил о неизбежной ошибке, «которую ум человеческий не может не делать...».