Задачу о кёнигсбергских мостах первым решил Эйлер в 1736 году. Эйлер был великим математиком и поэтому не ограничился только кёнигсбергскими мостами — он решил задачу в общем виде, то есть для любого числа мостов, которые как угодно соединяют берега и любое число островов! И теперь даже житель Санкт-Петербурга может определить, удастся ли ему прогуляться по трёмстам мостам своего города, соединяющим сорок два острова, причём прогуляться так, чтобы пройти по каждому мосту только один раз.

Мы не случайно вспомнили о Санкт-Петербурге: в этом городе Эйлер провёл большую часть жизни, здесь же написал он и свою знаменитую работу о кёнигсбергских мостах. Работы Эйлера рождали порой новые области математики. Так произошло и с работой о кёнигсбергских мостах: с неё берёт начало топология — раздел математики, в котором изучаются самые общие свойства геометрических тел и фигур.

Что это за свойства? Представим себе, что у нас в руках кусок пластилина, и нам разрешается делать с ним, что угодно, но только не разрывать и не слеплять.

Пусть, например, кусок пластилина имеет сначала форму стакана. Мы можем превратить «стакан» в «ложку», нигде не разрывая и не слепляя пластилин:

А вот превратить пластилиновый стакан в чашку с ручкой не удастся: ведь для ручки надо сделать дырку, то есть разорвать пластилин в каком-то месте, а мы условились, что разрывать и слеплять нельзя! Зато пластилиновую чашку можно превратить в бублик:

С точки зрения топологии стакан и ложка — это одно и то же, а чашка или бублик — совсем другое (однако чашка и бублик — тоже одно и то же!).

Далеко не всегда очевидно, что две фигуры «топологически одинаковы» — например, трудно поверить, что одну из этих пластилиновых «ручек» можно без разрывов и склеек превратить в другую, не снимая со стержня:

Однако вот промежуточные стадии такого превращения:

Задачи о кёнигсбергских мостах и о новом королевском за́мке — это настоящие топологические задачи: действительно, можно как угодно размещать башни и соединять их стенами любой формы, но пока мы не «разрываем» стен и не «склеиваем» их, задача остаётся той же самой!

Некоторые фигуры имеют настолько необычные топологические свойства, что перестаёшь верить собственным глазам. Одну из таких фигур обнаружил в середине XIX века немецкий учёный Мёбиус. Вы легко можете сами сделать «лист Мёбиуса» — возьмите полоску бумаги и склейте её в кольцо, повернув перед склеиванием на пол-оборота:

Чтобы убедиться в необычных свойствах листа Мёбиуса, попробуйте для начала покрасить его с одной стороны. Вы обнаружите, что карандаш или кисточка окрасят лист полностью! Но так и должно быть — дело в том, что у листа Мёбиуса, в отличие от «обычных» поверхностей (то есть таких, к которым мы привыкли), не две стороны, а только одна!

А теперь попробуйте угадать, что получится, если разрезать лист Мёбиуса вдоль кольца посередине. Распадется ли он, например, на два кольца? Берите ножницы и режьте! Интересно, поверите ли вы своим глазам?

— А где же зал суда? — спросила Алиса: она читала в книжках, что суд происходит всегда в «зале суда».

— Залом будет этот двор, — показала Королева на один из трёх дворов за́мка.

Гости стали садиться прямо на траву, а для Короля и Королевы вынесли трон. Возле трона сразу же столпились какие-то карты и зверушки.

— Это, наверное, приближённые к трону, — догадалась Алиса (она не раз слышала о «приближённых к трону», но только теперь увидела, кто это такие!).

Сев на траву, Алиса обнаружила, что рядом с ней сидит Грифон.

— А где же Черепаха Будто? — спросила Алиса.

— Ползёт потихоньку прямо на бал, — ответил Грифон.

В этот момент Белый Кролик (он тоже оказался среди «приближённых к трону») поднял трубу и трижды протрубил.

Все замолчали, и в наступившей тишине Король Червей приказал Кролику:

— Читай обвинение!

Кролик развернул большой свиток пергамента и прочитал:

— Обвиняется Шляпник.

— А где обвиняемый? — поинтересовался Король.

— Его почему-то нет, — робко ответил Белый Кролик.

— Я есть! — раздался откуда-то голос Шляпника. Алиса обернулась и увидела, что Шляпник протискивается к трону между сидящими на траве.

— Почему ты опоздал? — строго спросил Король.

— Мартовский Заяц пригласил нас с Соней на чай... — начал Шляпник.

— Как! — вскричала Королева. — Из-за какого-то чая ты посмел опоздать на суд?

— Дело не в чае, а в часах, — сказал Шляпник. — Когда я пошёл к Мартовскому Зайцу, я забыл свои часы дома...

— Но разве у Зайца нет часов? — удивилась Королева.

— Часы у него, конечно, есть, — ответил Шляпник. — Но они остановились.

— Ну и что? — спокойно спросил Король. — Я уверен, что стоящие часы показывают точное время намного чаще, чем твои!

— И вовсе нет! — обиделся Шляпник. — С тех пор, как Заяц перестал смазывать мои часы сливочным маслом, они стали идти очень точно!

— Как точно? — поинтересовался Король.

— Они отстают всего на одну секунду в сутки, — похвастал Шляпник.

— На одну секунду в сутки? — переспросил Король. — Значит, за месяц они отстанут на полминуты?

— Всего-навсего! — радостно подтвердил Шляпник. — Я их не подвожу уже два месяца, и за это время часы отстали только на одну минуту!

— В часе шестьдесят минут, — сказал Король. — Значит, твои часы отстанут на час за сто двадцать месяцев...

— Это целых десять лет! — воскликнул Шляпник.

— А за сто двадцать лет твои часы отстанут на двенадцать часов, — продолжал Король.

— До этого, наверное, я уже не доживу, — вздохнул Шляпник.

— Зато тот, кто доживёт, наконец-то увидит на твоих часах точное время! — заметил Король.

— Почему? — удивился Шляпник.

— Только тогда, когда твои часы отстанут на двенадцать часов, их стрелки снова покажут точное время, — объяснил Король. — Разве не так?

— Так, — подтвердил озадаченный Шляпник.

— Вот и получается, что твои часы показывают точное время только один раз в сто двадцать лет! — воскликнул Король. — А часы, которые стоят, показывают точное время два раза в сутки — это примерно в восемьдесят семь тысяч шестьсот раз чаще, чем твои! Так что, как видишь, твои отстающие часы намного хуже, чем часы Зайца, которые вообще стоят!

— Но как же узнать, когда стоящие часы показывают точное время? — растерянно спросил Шляпник.