А благодаря открытию Пифагора, о котором мы недавно рассказывали, обнаружилось, что существуют числа, которые невозможно записать даже в виде дроби! Действительно, какой дробью можно представить длину диагонали квадрата со стороной единица, если у диагонали нет никакой общей меры со стороной? Когда сам Пифагор осознал значение своего открытия, он даже испугался (хотя был олимпийским чемпионом по кулачному бою!) и потребовал от своих учеников, чтобы они ни в коем случае не разглашали это открытие. Один ученик ослушался, и, согласно легенде, боги покарали его за это: он погиб во время кораблекрушения.

Страх перед безграничной делимостью длился почти два тысячелетия, и первые подходы к описанию непрерывного движения предприняли только Галилей и Декарт в XVII веке. (Мы уже писали о том, как Галилей открыл закон свободного падения тел). Становилось ясно, что для описания движения нужна совершенно новая математика, в которой возможность безграничной делимости принята за основу.

Создали такую математику в конце XVII века независимо друг от друга двое учёных — англичанин Ньютон и немец Лейбниц (хотя друзьями-то они как раз и не были!). Называется она «дифференциальное и интегральное исчисление». Справедливость требует сказать ещё, что «почву» для великого немца и великого англичанина подготовили два великих француза — Ферма и Паскаль; в своих работах они подошли вплотную к открытию дифференциального и интегрального исчисления.

Через четверть часа тропинка привела Алису к опушке леса, но прежде чем войти в лес, Алиса остановилась.

— А вдруг там водятся дикие звери? — спросила она себя.

Ответа не последовало, и Алиса задала новый вопрос:

— Может, лучше вернуться?

— Нет, — сразу же ответила себе Алиса. — Во-первых, идти вперёд интересней, чем назад, а во-вторых, как же я узнаю, кто такие Ха-Ха и Ах-Ах!

И Алиса вступила в лес. Она шла и прислушивалась: не слышно ли рычания диких зверей? И вдруг её настороженное ухо уловило звуки человеческого голоса. Или это были два голоса?

Тут лес расступился, и Алиса вышла на большую поляну. Посреди поляны два маленьких толстеньких человечка о чём-то спорили, широко размахивая руками. Человечки были очень похожи и к тому же повторяли движения друг друга.

— Это один человек разговаривает со своим отражением в зеркале! — догадалась Алиса.

Ей захотелось познакомиться со странным человечком, но он был такой маленький, что Алиса боялась его испугать.

— Хорошо бы мне уменьшиться раза в три, — подумала Алиса и... с трудом удержала блюдо, которое стало вдруг величиной с пол-Алисы!

— Я уменьшилась, а блюдо осталось таким же, как было, — сразу поняла Алиса.

Она прислонила блюдо к дереву, отошла на несколько шагов и увидела в блюде себя в полный рост.

— Мы с тобой тоже можем побеседовать, — предложила Алиса своему отражению, и они обе поправили прически. — Ты точно такая же, как я, и поэтому будешь во всём соглашаться со мною. Это, конечно, приятно, но, знаешь, немного скучновато! — Тут Алиса снова посмотрела на странного человечка. — А ведь он-то спорит со своим отражением! Пойду узнаю: о чём они спорят? Отходя от зеркального блюда, Алиса увидела, что её отражение тоже начало отходить куда-то вглубь.

— До встречи на этом же самом месте! — помахав рукой, сказала Алиса, и отражение приветливо ответило ей.

Подходя к человечку, Алиса с удивлением обнаружила, что зеркало повторяет его движения не совсем точно. А когда она подошла поближе, то увидела, что отражение пытается у человечка что-то отобрать!

— С таким зеркалом я бы побоялась связываться, — подумала Алиса и вдруг догадалась, в чём дело.

— Это всё-таки два человека! — воскликнула она. — Но как они похожи друг на друга!

Человечки мигом прекратили возню, а предмет, из-за которого они готовы были подраться, со звоном упал на траву.

— Это мы-то похожи?! — в один голос вскричали они.

— Очень похожи, — подтвердила Алиса. — Таких похожих людей я не встречала ни разу в жизни!

— Но ведь у нас же нет ничего одинакового! — воскликнул один из человечков.

— Совсем ничего! — добавил другой. Приглядевшись, Алиса увидела, что у человечков, действительно, всё разное. И вообще, выглядели они более чем странно!

У каждого из них, например, было по одному башмаку с большим бантом, только у одного человечка башмак был на левой ноге, а у другого — на правой. Каждый человечек был одет в свитер, но у одного левая половина свитера была красная, а правая — синяя, а у другого наоборот: левая — синяя, а правая — красная. У одного из человечков на свитере большими белыми буквами было вышито «Ха-Ха», а у другого — «Ах-Ах». И, наконец, у каждого человечка было по синяку на лбу, но у одного — слева, а у другого — справа!

И всё-таки, посмотрев на человечков внимательнее, Алиса нашла, что у них общего.

— Вы оба в точности одного роста! — воскликнула она.

Человечки тут же померились ростом — Алиса оказалась права!

Тогда они удивлённо посмотрели сначала друг на друга, а потом на Алису.

— Почему у каждого из вас башмак только на одной ноге? — решила продолжить разговор Алиса.

— Наши старые башмаки совсем износились... — начал объяснять один из человечков.

— Ой! — перебил его другой. — Я не забыл!

— Вот видишь, — укоризненно сказал первый. — А ведь сегодня твоя очередь!

— Не бегу! — отозвался второй и тут же умчался.

— Какой-то он немного странный, — заметила Алиса, проводив взглядом убежавшего человечка.

— Мой братец Ах-Ах всегда всё переворачивает наоборот, — объяснил оставшийся человечек (судя по имени, вышитому на свитере, это был Ха-Ха).

— Он так любит обманывать? — удивилась Алиса.

— Совсем не любит, — отозвался Ха-Ха. — Это у него просто от упрямства!

— Как же вы его понимаете? — спросила Алиса.

— Всё, что говорит Ах-Ах, я переворачиваю обратно, только и всего! — со смехом ответил Ха-Ха.

— Но если вы с братом так хорошо понимаете друг друга, из-за чего же вы спорили? — поинтересовалась Алиса.

— Из-за подарков, — ответил Ха-Ха. — У нас сегодня общий день рождения.

— Поздравляю! — сказала Алиса. — Так вы, наверное, не могли поделить подарки?